[論文レビュー] Dualising complexes and twisted Hochschild (co)homology for noetherian Hopf algebras

Kenneth A. Brown, James J. Zhang|ArXiv.org|Mar 31, 2006

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 24被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、noetherian AS-Gorenstein Hopf代数が、antipode $S$ と左積分からの左巻き込み自己同型 $\xi$ によって定まるNakayama自己同型 $\nu = S^2\xi$ によるねじれシフトと同型な剛性双対複体を備えていることを確立する。主な結果はねじれPoincaré双対性：$H^i(A,M) \cong H_{d-i}(A,{}^{\nu}M)$ であり、上位次元 $d$ で非自明なホモロジーとコホモロジーが存在し、古典的双対性を非可換な設定に一般化する。

ABSTRACT

We show that many noetherian Hopf algebras A have a rigid dualising complex R with R isomorphic to ^νA^1 [d]. Here, d is the injective dimension of the algebra and νis a certain k-algebra automorphism of A, unique up to an inner automorphism. In honour of the finite dimensional theory which is hereby generalised we call νthe Nakayama automorphism of A. We prove that ν= S^2\XXi, where S is the antipode of A and \XXi is the left winding automorphism of A determined by the left integral of A. The Hochschild homology and cohomology groups with coefficients in a suitably twisted free bimodule are shown to be non-zero in the top dimension d, when A is an Artin-Schelter regular noetherian Hopf algebra of global dimension d. (Twisted) Poincare duality holds in this setting, as is deduced from a theorem of Van den Bergh. Calculating νfor A using also the opposite coalgebra structure, we determine a formula for S^4 generalising a 1976 formula of Radford for A finite dimensional. Applications of the results to the cases where A is PI, an enveloping algebra, a quantum group, a quantised function algebra and a group algebra are outlined.

研究の動機と目的

• 量子関数代数のHochschildコホモロジーにおける「次元低下」現象をねじれ係数の導入によって解消すること。
• 双対複体を用いて、Frobenius代数からの古典的Nakayama自己同型をnoetherian Hopf代数へ一般化すること。
• Van den Berghの双対性定理を用いて、Artin-Schelter正則Hopf代数に対してねじれPoincaré双対性を確立すること。
• 量子群や群代数を含むさまざまなクラスのHopf代数に対して、$\nu = S^2\xi$ としてNakayama自己同型を明示的に計算すること。
• 多循環的有限群の自己同型跡を用いて $S^4$ の一般式を導出し、Radfordの1976年の結果を一般化すること。

提案手法

• noetherian AS-Gorenstein Hopf代数に対して、自己次元 $d$ と $k$-代数自己同型 $\nu$ を用いて、剛性双対複体 $R \cong {}^{\nu}A^1[d]$ を構成する。
• Nakayama自己同型 $\nu$ を $S^2\xi$ として定義する。ここで $S$ はantipode、$\xi$ は左積分 $\int^l_A \cong \mathrm{Ext}^d_A({}_A k, {}_A A)$ から生じる左巻き込み自己同型である。
• Van den Berghの双対性定理を用いて、ねじれPoincaré双対性 $H^i(A,M) \cong H_{d-i}(A,{}^{\nu}M)$ を導出する。これは $A$ がグローバル次元 $d$ のAS正則である場合に成立する。
• 主なクラス（PI代数、包あらわし代数、量子群、量子関数代数、群代数）に対して $\nu$ を明示的に計算する。
• 多循環的有限群 $G$ の群代数 $kG$ に対して、自己同型跡 $\mathrm{T}_k(g) = \prod_i \det(\tilde{g}_i)$ を定義し、$\nu(g) = \mathrm{T}_k(g)g$ が成り立つことを示し、$\nu$ が対角化可能であることを証明する。
• 自己同型跡を用いて $S^4$ の一般式を導出し、有限次元Hopf代数に対するRadfordの1976年の公式を一般化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子群 $\mathcal{O}_q(SL(2))$ のHochschildコホモロジーにおける「次元低下」現象は、どのようにねじれ係数を用いて解消できるか？
• RQ2 noetherian AS-Gorenstein Hopf代数の剛性双対複体の構造は何か？ そしてNakayama自己同型とどのように関係しているか？
• RQ3 Artin-Schelter正則性を満たす非可換Hopf代数に対し、ねじれPoincaré双対性を確立できるか？
• RQ4 Nakayama自己同型 $\nu$ の明示的形は、antipode $S$ と左巻き込み自己同型 $\xi$ を用いてどのように表されるか？
• RQ5 多循環的有限群 $G$ の自己同型跡は、その群代数 $kG$ のNakayama自己同型をどのように決定するか？

主な発見

• グローバル次元 $d$ のnoetherian AS-Gorenstein Hopf代数 $A$ に対して、剛性双対複体は $R \cong {}^{\nu}A^1[d]$ を満たし、ここで $\nu = S^2\xi$ はNakayama自己同型である。
• ねじれHochschildホモロジー $H_d(A, A^\nu) \cong Z(A) \neq 0$ であるため、ねじれHochschild次元 $\mathrm{tHdim}\, A = d$ である。
• ねじれHochschildコホモロジー $H^d(A, {}^{\nu}A) \cong A/[A,A] \neq 0$ であるため、ねじれHochschild余次元 $\mathrm{tHcdim}\, A = d$ である。
• ねじれPoincaré双対性が成立する：$H^i(A,M) \cong H_{d-i}(A, {}^{\nu}M)$ はすべての $A$-双加群 $M$ とすべての $i$ に対して成り立ち、これはVan den Berghの双対性の結果である。
• 多循環的有限群 $G$ の群代数 $kG$ に対して、Nakayama自己同型は $\nu(g) = \mathrm{T}_k(g)g$ である。ここで $\mathrm{T}_k$ は $\{\pm1\}$ 値をとる自己同型跡である。
• 代数 $kG$ の積分位数は1または2であり、$S^4$ は自己同型跡によって決定され、有限次元Hopf代数に対するRadfordの1976年の公式を一般化する。