[論文レビュー] Dualite de Koszul des PROPs

Bruno Vallette|ArXiv.org|May 4, 2004

Advanced Topics in Algebra参考文献 11被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、多入力・多出力の作用をモデル化する代数的構造であるPROPsに対するKoszul双対性理論を確立する。これは、代数やオペラッドに対する古典的Koszul双対性を拡張したものであり、双対なco-PROP、バーバーおよびコーバー構成を導入し、PROPがKoszulであることとそのKoszul複体が非可換であることとは同値であることを証明する。これにより、その双対co-PROPのコーバー構成によって最小モデルが得られる。

ABSTRACT

In this thesis, we generalize the Koszul duality for associative algebras and operads to PROPs. The operads are algebraic objects that represent the operations with multiple inputs but only one output acting on a certain type of algebras. A PROP models the operations with multiple inputs and multiple outputs acting on algebraic structures like bialgebras and Lie bialgebras. We also give a construction of the free monoid (for a monoidal product non-necessarily bilinear). We generalize the Poincare series of operads to PROPs and we prove a functional equation for Poincare series of Koszul PROPs.

研究の動機と目的

• 代数やオペラッドに対するKoszul双対性を、多入力・多出力の作用をモデル化するPROPsへ拡張すること。
• 任意の二次的PROPに対して、代数やコオペラッドの双対性を一般化した双対co-PROPを定義すること。
• PROPsに対するバーバーおよびコーバー構成を構築し、それらのホモロジー的性質を確立すること。
• Koszul複体の非可換性を用いた、PROPのKoszul性のホモロジー的基準を提供すること。
• その双対co-PROPのコーバー構成を用いて、元のPROPの最小モデルを構成すること。

提案手法

• 操作の連結結合を表すために、$\mathbb{S}$-双モジュール上の新しい積$\boxtimes_c$を定義し、PROPsをモデル化する。
• 連結成分をより細かく制御できるように、$\boxtimes_c$に関するモノイドとしてのpropéradeの概念を導入する。
• 微分付き$\mathbb{S}$-双モジュールに対してバーバーおよびコーバー関手を構成し、それをPROPsへ拡張する。
• フィルトレーションおよびスペクトル系列の議論を用いて、$\mathcal{P}^! \boxtimes \mathcal{P}$のホモロジーと$\mathcal{P}^!$のコーバー構成のホモロジーを比較する。
• 一般のモノイド圏における自由モノイドの存在を保証するため、双対的等化子および分割解析的関手の理論を適用する。
• 主要な基準を用いて双対性を確立する：$\mathcal{P}$がKoszulであることと、$\mathcal{P}^! \boxtimes \mathcal{P}$が非可換であることとは同値である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 オペラッドや代数からPROPsへKoszul双対性を一般化する方法は何か？ ここでのPROPsは、複数の入力と出力をもつ作用をモデル化する。
• RQ2 二次的PROPに対する適切な双対co-PROPの概念は何か？ そして、これは古典的な代数やコオペラッドの双対性とどのように関係するか？
• RQ3 バーバーおよびコーバー構成をPROPsへ拡張できるか？ また、それらは元のPROPの分解をもたらすか？
• RQ4 PROPがKoszulであることを特徴づけるホモロジー的基準は何か？ そして、Koszul複体の非可換性とはどのように関係するか？
• RQ5 双対co-PROPのコーバー構成が、元のPROPの最小モデルをどのように与えるか？

主な発見

• PROP $\mathcal{P}$ がKoszulであることと、そのKoszル複体 $\mathcal{P}^! \boxtimes \mathcal{P}$ が非可換であることとは同値である。
• コーバー構成 $\bar{\mathcal{B}}^c(\mathcal{P}^!) \to \mathcal{P}$ が準同型的（quasi-isomorphism）であるのは、$\mathcal{P}$ がKoszulである場合に限る。
• 双対co-PROP $\mathcal{P}^{!\prime}$ は、代数の双対およびコオペラッドの双対の両方を一般化する。
• PROPsに対するバーバーおよびコーバー構成は、適切な条件下で正しく定義されており、ホモロジー的性質を保つ。
• この理論は、すべての標準的例を含む、反射的等化子を保存するモノイド圏を持つPROPsに適用可能である。
• KoszulなPROPの最小モデルは、その双対co-PROPのコーバー構成によって与えられ、これは小さな、準自由な分解を提供する。