[論文レビュー] Dualities in Convex Algebraic Geometry

Philipp Rostalski, Bernd Sturmfels|arXiv (Cornell University)|Jun 25, 2010

Advanced Optimization Algorithms Research参考文献 23被引用数 21

ひとこと要約

この論文は、凸幾何、代数幾何、最適化の間の相互作用を、3つの双対性を統合することによって探求する。すなわち、凸体の双対性、代数的多様体の射影的双対性、多項式最適化におけるラグランジュ／カールシュ・クーン・タッカー双対性である。最適値が制約集合の代数的境界の射影的双対から得られる最小多項式を持つ代数的関数であることが示され、また、特定の条件下でスパイラルド・シャドウ（スパイラルド）としてのスパイラルド体（theta bodies）が、コンパクトな実代数的多様体の凸包を正確に表現できることを確立する。

ABSTRACT

Convex algebraic geometry concerns the interplay between optimization theory and real algebraic geometry. Its objects of study include convex semialgebraic sets that arise in semidefinite programming and from sums of squares. This article compares three notions of duality that are relevant in these contexts: duality of convex bodies, duality of projective varieties, and the Karush-Kuhn-Tucker conditions derived from Lagrange duality. We show that the optimal value of a polynomial program is an algebraic function whose minimal polynomial is expressed by the hypersurface projectively dual to the constraint set. We give an exposition of recent results on the boundary structure of the convex hull of a compact variety, we contrast this to Lasserre's representation as a spectrahedral shadow, and we explore the geometric underpinnings of semidefinite programming duality.

研究の動機と目的

• 3つの双対性（凸体の双対性、代数的多様体の射影的双対性、最適化におけるラグランジュ双対性）を統合し、比較すること。
• コンパクトな実代数的多様体の凸包の幾何的・代数的構造を明確にすること。
• スパイラルド・シャドウの代数的境界と、そのスパイラルド体による表現との関係を調査すること。
• 多項式計画問題の最適値が、制約集合の射影的双対から生じる最小多項式を持つ代数的関数であることを示すこと。
• 半定値計画法の双対性の幾何的基盤と代数幾何学的関連性を探索すること。

提案手法

• 線形行列不等式（LMI）を用いて、スパイラルド（symmetric 4×4 行列 Q(x,y,z) ≥ 0 で定義される3次元のピロウ型スパイラルドを含む）を凸集合として定義する。
• スパイラルドの代数的境界に射影的双対性を適用し、Q(x,y,z) の行列式が定める超曲面の射影的双対が、最適値関数の最小多項式を符号化していることを示す。
• 多項式計画問題における最適性の必要十分条件としてカールシュ・クーン・タッカー（KKT）条件を適用し、半定値計画法における相補性の緩和と結びつける。
• スパイラルド体（theta bodies）をスパイラルド・シャドウとして用い、実代数的多様体の凸包を表す。正定値行列による平方和（SOS）表現を用いる。
• 消去理論とグレブナー基底を用いて、スパイラルド・シャドウの代数的境界を計算し、特に行列不等式から補助変数を消去する。
• 半定値計画法を用いて凸体の境界およびその双対体の境界をサンプリングし、理論的結果の可視化および数値的検証を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多項式最適化において、3つの双対性（凸体の双対性、代数的多様体の射影的双対性、ラグランジュ双対性）はどのように関連しているか？
• RQ2 多項式計画問題の最適値とその制約集合の射影的双対との間の明確な代数的関係は何か？
• RQ3 スパイラルド体（degree d）が、実代数的多様体の凸包を正確に表現する条件は何か？
• RQ4 消去理論を用いて、スパイラルド・シャドウの代数的境界をアルゴリズム的にどのように計算できるか？
• RQ5 スパイラルドの境界に現れる特異点の幾何的意味は何か？また、それらは双対凸体とどのように関係するか？

主な発見

• 多項式計画問題の最適値は代数的関数であり、その最小多項式は制約集合の代数的境界の射影的双対から得られる。
• コンパクトな実代数的多様体の凸包は、有限収束条件のもとでスパイラルド体として表現可能であり、これはスパイラルド・シャドウである。
• h₁ = x² + y² + z² − 1 および h₂ = 19x² + 21y² + 22z² − 20 で定義される曲線に対して、TH₁(I) = conv(X) が成り立ち、代数的境界は3つの二次曲面の積で与えられる。
• 1次SOS錐の双対はスパイラルド体 TH₁(I) であり、この双対性はグレブナー基底と飽和を用いて補助パラメータを消去した4×4正定値行列表現によって実現される。
• スパイラルド・シャドウ conv(X) の境界は、3次元の二次曲面から構成され、消去イデアルを計算することで確認され、主イデアル ⟨h₄h₅h₆⟩ が得られる。
• スパイラルド P とその双対凸体 PΔ との間の双対性は、面の次元を保存する：P の1次元面は PΔ の0次元面に対応し、P の特異な0次元面は PΔ の2次元面に対応する。