[論文レビュー] Dualities in equivariant Kasparov theory

Heath Emerson, Ralf Meyer|arXiv (Cornell University)|Oct 31, 2007

Advanced Operator Algebra Research参考文献 27被引用数 24

ひとこと要約

本稿は、群概体がC*-代数バンドルに作用する場合の双変K理論における2つの等変双対性同型を確立し、カスパロフのポアンカレ双対性を一般化する。Kasparov積を用いた抽象的双対を導入し、滑らかな多様体および単体的複体のバンドルに対して対称的双対を構成することで、等変KK理論の幾何的モデルを可能とし、ディラック作用素とインデックス写像を用いて等変レフシェッツ不変量およびオイラー特性を定義する。

ABSTRACT

We study several duality isomorphisms between equivariant bivariant K-theory groups, generalising Kasparov's first and second Poincare duality isomorphisms. We use the first duality to define an equivariant generalisation of Lefschetz invariants of generalised self-maps. The second duality is related to the description of bivariant Kasparov theory for commutative C*-algebras by families of elliptic pseudodifferential operators. For many groupoids, both dualities apply to a universal proper G-space. This is a basic requirement for the dual Dirac method and allows us to describe the Baum-Connes assembly map via localisation of categories.

研究の動機と目的

• 群概体作用を伴う非コンパクトかつバンドル型の空間に対して、カスパロフの第一および第二ポアンカレ双対性同型を等変双変K理論に一般化すること。
• 第一の双対性同型および双対のファンクター理論的性質を用いて、等変レフシェッツ不変量を定義すること。
• 第二の双対性を用いて、KK群を補助条件付きK理論に還元することで、等変KK理論の幾何的モデルを確立すること。
• 対称的カスパロフ双対の存在下で、双対ディラック法とバウム＝コンヌのアセンブルリーマップが同値であることを示し、両者を統一すること。
• 局所的に自明なC*-代数バンドルを用いて双対性をねじれ双変K理論に拡張し、多様体、境界付き多様体、および単体的複体の双対を検証すること。

提案手法

• クラス Θ ∈ RKKG_n(X; C0(Z), P) を用いて、適切なG-C*-代数バンドルに対して抽象的双対を導入し、Kasparov積を介して双対性同型を誘導する。
• 滑らかな多様体バンドルに対して、垂直接続バンドル TX および関連するC*-代数 C0(TX) を用いて対称的カスパロフ双対を構成し、適切なクラス Θ を用いる。
• クリフォード代数バンドル Cτ(X) を代替的双対として用い、C0(TX) と Cτ(X) の間の KKG⋉X同値性を示し、双対性同型を保存することを確認する。
• 第二の双対性を適用してKK群を補助条件付きK理論に還元し、特に局所的有限Kホモロジーを含む幾何的サイクル記述を可能にする。
• 等変オイラー特性を、ディラック作用素クラス [DdR] がインデックス写像 µX: KKG_*(C0(X), C0(Z)) → K*(C*rG) に写される像として定義する。
• コンパクトな場合に二つの双対性同型が同値であることを確立し、γ要素および普遍的固有G空間を介してバウム＝コンヌ予想と関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 固有G空間が等変双変K理論における対称的カスパロフ双対を有するための条件は何か？
• RQ2 第一および第二のポアンカレ双対性同型は、群概体作用を伴う非コンパクトおよびバンドル型空間にどのように一般化可能か？
• RQ3 普遍的固有G空間は、双対ディラック法とバウム＝コンヌのアセンブルリーマップの同値性を実現するために果たす役割は何か？
• RQ4 双対性およびKK理論におけるファンクター理論的性質を用いて、等変レフシェッツ不変量をどのように定義・計算できるか？
• RQ5 ねじれ双変K理論において、局所的に自明なC*-代数バンドルで双対性がどのように拡張され、ストラティファイド擬多様体にまで拡張された場合に、二つの双対性同型がどの程度同値性を保つのか？

主な発見

• 第一の双対性同型は、対称的カスパロフ双対 (P, Θ) を用いて、KKG_*(P ⊗Z A, B) ≅ RKKG_*(X; A, B) の同型を確立し、カスパロフの第一ポアンカレ双対性を一般化する。
• 固有G作用を伴う滑らかな多様体バンドル X → Z に対して、X◦ が境界に開きコラールを付加した空間であるとき、適切なクラス Θ を用いた C0(TX◦) が抽象的双対である。
• 第二の双対性同型はKK群を補助条件付きK理論に還元し、特に垂直接続バンドルの局所的有限Kホモロジーに関して、KG,lf_*(TX◦) ≅ K*_G(X) を特定する。
• 等変オイラー特性は、EulG = [DdR] ∈ KKG_*(C0(X), C0(Z)) と与えられ、DdR はアンカー写像 X → Z 沿いのファイバーに沿ったde Rham作用素を表す。
• 写像 µX: KKG_*(C0(X), C0(Z)) → K*(C*rG) は、オイラー特性を、葉のホロノミー被覆上のde Rham作用素族の等変インデックスに写す。
• foliation の L2 ベッチ数は、交替和 ∑i (−1)^i β^i_L2 = Λ ◦ µX([DdR]) として回復され、インデックスと不変な横断的測度のペアリングによって得られる。