[論文レビュー] Dualities in integrable systems: geometrical aspects

A. Gorsky, V. Rubtsov|ArXiv.org|Mar 1, 2001

Nonlinear Waves and Solitons被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、特にヒチン型系における双対性と、T双対性、S双対性、鏡像対称性といった弦理論の概念との間の幾何的関係を確立する。可積分系における双対性が、ヒッグス束のモジュライ空間およびシンプレクティックな曲面上の点のヒルベルトスキームの上での深い幾何的構造から生じることを、変数分離手続きをT双対性と結びつけ、ムカイ＝オデスキー代数を用いて二重楕円系を統一することで示している。

ABSTRACT

We discuss geometrical aspects of different dualities in the integrable systems of the Hitchin type and its various generalizations. It is shown that T duality known in the string theory context is related to the separation of variables procedure in dynamical system. We argue that there are analogues of S duality as well as mirror symmetry in the many-body systems of Hitchin type. The different approaches to the double elliptic systems are unified using the geometry behind the Mukai-Odesskii algebra.

研究の動機と目的

• ヒチン型可積分系における双対性—T双対性、S双対性、鏡像対称性—の幾何的起源を明確化すること。
• 可積分系における変数分離手続きと弦理論におけるT双対性との対応を確立すること。
• ムカイ＝オデスキー代数を用いて、二重楕円可積分系の異なる定式化を統一すること。
• これらの系の位相空間が、ヒッグス束のモジュライ空間、平坦接続のモジュライ空間、あるいはシンプレクティックな曲面上の点のヒルベルトスキームとして実現されることを示すこと。
• これらの双対性が、可換および非可換多様体上のゲージ理論、インスタントン、モノポールに与える影響を検討すること。

提案手法

• シンプレクティック群作用からのハミルトニアン還元を用いて、可積分系の位相空間を構成する。
• スクラヤニンの手法による変数分離技術を適用し、多体系をシンプレクティック多様体の対称積上の1体問題に還元する。
• 4次元シンプレクティック多様体上の点のヒルベルトスキームを、可積分系における分離変数の幾何的舞台として特定する。
• ムカイ＝オデスキー代数を用いて、二重楕円系の異なる構成を統一する。
• 例えば、ヒッグス束のモジュライ空間とヒルベルトスキームの間の canonical 変換を通じて双対性を確立する。
• Dブレーンの compactification の文脈において、弦理論におけるT双対性を、ホロモーフィック曲面の記述とヒルベルトスキームの交換に結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可積分系における変数分離手続きは、弦理論におけるT双対性とどのように対応するか？
• RQ2 ヒチン型可積分系の文脈において、S双対性の幾何的意味は何か？
• RQ3 二重楕円可積分系は、異なる数学的枠組みにおいて一貫してどのように記述できるか？
• RQ4 ヒッグス束のモジュライ空間およびインスタントンのモジュライ空間は、可積分系における双対性の統一に果たす役割は何か？
• RQ5 非可換幾何学およびT双対性は、可積分系の幾何からどのように生じるか？

主な発見

• ヒチン型系における変数分離手続きは、シンプレクティック双対性を通じて、元の位相空間と双対位相空間との間の幾何的同値性として実現される。
• 可積分系におけるS双対性は、運動積分の空間上でのリウヴィルトーラスのファイブレーションにおける基底の変更として実現される。
• 力学系における鏡像対称性は、モジュライ空間の同値性として実現される：1つは曲線上のヒッグス束を記述し、もう1つはシンプレクティック曲面上のホロモーフィック曲面を記述する。
• 二重楕円系は、ムカイ＝オデスキー代数を介して、異なるアプローチから統一され、その背後にある4次元シンプレクティック幾何が符号化されている。
• T双対性は、マークされた点をもつトーラス上の平坦G接続のモジュライ空間を、非可換多様体上の点のヒルベルトスキームに写像し、ゲージ理論と可積分系を結びつける。
• 4次元多様体上の点のヒルベルトスキームは、ガウディン系、カロジェロ系、ルイゼナールス系を含む、可積分系の位相空間を記述する普遍的な幾何的枠組みを提供する。