[論文レビュー] Dualities in one-dimensional quantum lattice models: symmetric Hamiltonians and matrix product operator intertwiners

Laurens Lootens, Clement Delcamp+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 16, 2021

Algebraic structures and combinatorial models被引用数 15

ひとこと要約

本稿は、一般化された対称性の行列積演算子（MPO）実現を活用することで、1次元量子格子模型における双対性をカテゴリー的枠組みで分類する手法を提示する。双対ハミルトニアンは、融合カテゴリ上の異なるモジュールカテゴリから生じており、MPOのインターヴァリアントが局所的演算子を非局所的ストリング順序演算子に写像することで、クライマー＝ヴァーナー双対性やジョルダン＝ヴァイナー双対性といった既知の双対性が、同一の代数的構造の下で統一される。

ABSTRACT

We present a systematic recipe for generating and classifying duality transformations in one-dimensional quantum lattice systems. Our construction emphasizes the role of global symmetries, including those described by (non)-abelian groups but also more general categorical symmetries. These symmetries can be realized as matrix product operators which allow the extraction of a fusion category that characterizes the algebra of all symmetric operators commuting with the symmetry. Known as the bond algebra, its explicit realizations are classified by module categories over the fusion category. A duality is then defined by a pair of distinct module categories giving rise to dual realizations of the bond algebra, as well as dual Hamiltonians. Symmetries of dual models are in general distinct but satisfy a categorical Morita equivalence. A key novelty of our categorical approach is the explicit construction of matrix product operators that intertwine dual bond algebra realizations at the level of the Hilbert space, and in general map local order operators to non-local string-order operators. We illustrate this approach for known dualities such as Kramers-Wannier, Jordan-Wigner, Kennedy-Tasaki and the IRF-vertex correspondence, a new duality of the $t$-$J_z$ chain model, and dualities in models with the exotic Haagerup symmetry. Finally, we comment on generalizations to higher dimensions.

研究の動機と目的

• 1次元量子格子模型における双対性を、従来の群対称性を越えて、体系的かつ対称性に基づいた分類法を構築すること。
• クライマー＝ヴァーナー、ジョルダン＝ヴァイナー、ケネディ＝タカシの双対性といった既知の双対性を、カテゴリー的対称性に基づく単一の代数的枠組みで統一すること。
• 双対ハミルトニアンと融合カテゴリ上の異なるモジュールカテゴリとの間の対応を確立し、ユニタリ群作用を越えた対称性の一般化を図ること。
• 対称な演算子を双対モデル間で写像する行列積演算子（MPO）インターヴァリアントの明示的構成を提供し、局所的演算子を非局所的ストリング順序演算子に変換すること。
• ハーゲループカテゴリのような特異な対称性へと形式を拡張し、高次元模型への一般化を、高次カテゴリー構造を用いて提案すること。

提案手法

• 1次元量子格子系のヒルベルト空間に作用する、一般化された（非アーベル的・非可逆的）対称性を行列積演算子（MPO）として実現する。
• 結合代数によって分類されるモジュールカテゴリ上の融合カテゴリに基づき、MPO対称性と可換な対称的演算子の代数を特徴づける。
• 同一の結合代数を異なるモジュールカテゴリで実現する2つの異なるモジュールカテゴリのペアとして双対性を定義し、カテゴリー的モリタ同値な対称性を持つ双対ハミルトニアンを導出する。
• 1つのモデルの局所的演算子を双対モデルの非局所的ストリング順序演算子に写像する明示的なMPOインターヴァリアントを構成し、対称性構造を保存する。
• 既知の双対性（例：t-Jz鎖、IRF-ボクシー双対性）および特異な対称性（例：ハーゲループ）にこの枠組みを適用し、MPOのテンソルネットワーク表現を用いる。
• 球面的融合2カテゴリおよびモジュール2カテゴリを用いた高次元への一般化を提案し、ボトム・バウンダリー対応やトポロジカルオーダーとの類似性を示唆する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1次元量子格子模型における双対性は、従来の群作用を越えた一般化された対称性を用いて、どのように体系的に分類可能か？
• RQ2 同一の結合代数を異なるモジュールカテゴリで実現するMPOインターヴァリアントは、双対ハミルトニアンの関係において果たす役割は何か？
• RQ3 カテゴリー的双対性枠組み下で、1つの双対モデルにおける局所的演算子は、どのように双対モデルにおける非局所的ストリング順序演算子に変換されるか？
• RQ4 クライマー＝ヴァーナー、ジョルダン＝ヴァイナー、ケネディ＝タカシの双対性といった多様な双対性が、同一のカテゴリー的構造で統一可能か？
• RQ5 この双対性枠組みの高次元一般化は何か？また、(2+1)次元におけるトポロジカルオーダーおよびギャップを持つ境界とどのように関係するか？

主な発見

• 本稿は、双対ハミルトニアンが融合カテゴリ上の異なるモジュールカテゴリから生じており、対称的演算子を符号化する結合代数が双対性のもとで不変であることを確立した。
• カテゴリー的データから明示的に構成されたMPOインターヴァリアントが、1つのモデルの局所的演算子を双対モデルの非局所的ストリング順序演算子に写像し、演算子レベルでの双対性の明確な実現を提供した。
• 本枠組みは、イジング模型のクライマー＝ヴァーナー双対性やジョルダン＝ヴァイナー変換といった既知の双対性を、それらの背後にある融合カテゴリおよびモジュールカテゴリ構造の同定により、正確に再現した。
• t-Jz鎖模型に対して、非アーベル的 anyonic 自由度を有するスピン鎖と、IRF-ボクシー対応を介して関連する頂点模型との間で、新たな双対性を同定した。
• ハーゲループカテゴリのような特異な対称性へも本アプローチを一般化でき、文献からのデータを用いてMPOおよびインターヴァリアントの明示的テンソルネットワーク構成を提供した。
• 形式的枠組みは、球面的融合2カテゴリおよびモジュール2カテゴリを用いた高次元一般化を示唆しており、ボトム・バウンダリー対応や(2+1)次元トポロジカルオーダーとの潜在的関連性を示唆している。