[論文レビュー] Dualities in one-dimensional quantum lattice models: topological sectors

Laurens Lootens, Clement Delcamp+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 7, 2022

Algebraic structures and combinatorial models被引用数 14

ひとこと要約

本論文は、行列式積演算子（MPO）を用いて明示的なインターヴァーバーを構築することで、対称性を含む境界条件を有する1次元量子格子模型のスペクトルを関係付ける一般枠組みを確立する。主な結果は、双対模型のトポロジカルセクターが、基礎となる結合カテゴリのドリンフェルト中心の非自明なブレード付き自己同値によって写像されることであり、スピン1/2のXXZ模型と $σ{Rep}(σ{S}_3)$ 対称性を持つ模型を含む双対性クラスにおいて明示的に示されている。

ABSTRACT

It has been a long-standing open problem to construct a general framework for relating the spectra of dual theories to each other. Here, we solve this problem for the case of one-dimensional quantum lattice models with symmetry-twisted boundary conditions. In ref. [PRX Quantum 4, 020357], dualities are defined between (categorically) symmetric models that only differ in a choice of module category. Using matrix product operators, we construct from the data of module functors explicit symmetry operators preserving boundary conditions as well as intertwiners mapping topological sectors of dual models onto one another. We illustrate our construction with a family of examples that are in the duality class of the spin-$\frac{1}{2}$ Heisenberg XXZ model. One model has symmetry operators forming the fusion category $\mathsf{Rep}(\mathcal S_3)$ of representations of the group $\mathcal S_3$. We find that the mapping between its topological sectors and those of the XXZ model is associated with the non-trivial braided auto-equivalence of the Drinfel'd center of $\mathsf{Rep}(\mathcal S_3)$.

研究の動機と目的

• 1次元量子格子模型の双対スペクトルを関係付ける長年の未解決問題を解消すること。
• 対称性を含む境界条件を有する双対模型間のトポロジカルセクターをマッピングする一般枠組みを提供すること。
• 双対性が共通の入力結合カテゴリ上の異なるモジュールカテゴリの選択に起因することを確立すること。
• トポロジカルセクター間のマッピングが、カテゴリのドリンフェルト中心のブレード付き自己同値によって支配されることを示すこと。
• 双対性変換が、対称性と境界条件を保存する明示的MPO構成によって実現されることを示すこと。

提案手法

• 著者たちは、1次元量子格子模型における境界条件を保存する対称性演算子を行列式積演算子（MPO）を用いて構築する。
• 彼らは、共通の球面的結合カテゴリ上の異なるモジュールカテゴリに起因する模型間の双対性を定義する。入力カテゴリは系のカテゴリカル対称性である。
• トポロジカルセクター間のマッピングは、モジュールファンクターとMPOから構築されたインターヴァーバーによって実現され、対称性操作の下で一貫性が保証される。
• この構成は、Turaev-Viro-Barrett-Westbury TQFTのギャップのある境界条件と、入力結合カテゴリ上のモジュールカテゴリとのホログラフィック対応に依存する。
• $\mathcal{Z}(\mathsf{Rep}(\mathcal{S}_3))$ の半ブレードテンソルは、Clebsch-Gordan係数と $\mathcal{S}_3$ の表現論を用いて明示的に計算され、非自明なブレード付き自己同値が確認された。
• この枠組みは、XXZ模型と $\mathsf{Rep}(\mathcal{S}_3)$-対称性を持つ模型を含む双対性クラスに適用され、明示的なセクター写像が導出された。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 対称性を含む境界条件を有する1次元量子格子模型の双対スペクトルを、体系的にどのように関係付けることができるか？
• RQ2 カテゴリカル対称性を有する状況下で、双対模型のトポロジカルセクター間のマッピングの背後にある数学的構造は何か？
• RQ3 モジュールファンクターとMPOのデータから、トポロジカルセクター間のインターヴァーバーはどのように構築されるか？
• RQ4 ドリンフェルト中心とそのブレード付き自己同値は、異なる対称性構造を持つ模型間の双対性を実現するために果たす役割は何か？
• RQ5 XXZ模型と $\mathsf{Rep}(\mathcal{S}_3)$-対称性を持つ模型の間の双対性は、MPOに基づくインターヴァーバーとセクター写像によって明示的に実現可能か？

主な発見

• 双対模型のトポロジカルセクター間のマッピングは、$\mathsf{Rep}(\mathcal{S}_3)$ のドリンフェルト中心の非自明なブレード付き自己同値によって実現され、本論文で明示的に計算されている。
• $\mathsf{Rep}(\mathcal{S}_3)$-対称性を持つ模型において、$|1\rangle_{\underline{0}}$ および $|1\rangle_{\underline{1}}$ でラベル付けされたトポロジカルセクターは、半ブレード作用の下で $\omega$ および $\bar{\omega}$ の位相を含む重ね合わせに写像される。
• トポロジカルセクター間のインターヴァーバーは、群表現のトレースとクロネッカーのデルタを係数に含むMPOの線形結合として構築され、結合則と一貫性が保証される。
• $\mathcal{Z}(\mathsf{Rep}(\mathcal{S}_3))$ の半ブレードテンソルは明示的に計算され、$R_{\underline{2},\mathcal{V}}(|1\rangle_{\underline{2}}\otimes|1\rangle_{\underline{1}})$ が $|2\rangle_{\underline{2}}\otimes|2\rangle_{\underline{2}}$ を含む非自明な変換を生じることが示された。
• 誘導表現 $\mathrm{Ind}^{\mathcal{S}_3}_{\mathbb{Z}_2}(\underline{1}_{\mathbb{Z}_2}) \simeq \underline{1} \oplus \underline{2}$ の分解が確認され、群作用による既約表現上の明示的基底ベクトルが導出された。
• この枠組みは、1つの模型における非対称な局所演算子を、双対模型における非局所的非対称な演算子に正しくマッピングでき、カテゴリカル対称性のゲージ化による一般化された双対性と整合的である。