[論文レビュー] Duality and quotient spaces of generalized Wasserstein spaces

Nhan‐Phu Chung, Thanh‐Son Trinh|arXiv (Cornell University)|Apr 29, 2019

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 15被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、ポーランド距離空間上の一般化 Wasserstein 距離 $W_{1}^{a,b}$ に対して Kantorovich 双対性を確立し、$W_{1}^{a,b}$ がフラット距離と一致すること、および $(\mathcal{M}(X), W_{1}^{a,b})$ が測地的空間であることを証明する。さらに、コンパクト群の等長作用に対して、商写像が $\mathcal{M}^G(X)$ と $\mathcal{M}(X/G)$ 間で等長同型を誘導することを示し、一般化 Wasserstein 空間における Gromov-Hausdorff 及び等長的 Gromov-Hausdorff 収束に関する結果も得る。

ABSTRACT

In this article, using ideas of Liero, Mielke and Savaré in [21], we establish a Kantorovich duality for generalized Wasserstein distances $W_1^{a,b}$ on a generalized Polish metric space, introduced by Picolli and Rossi. As a consequence, we give another proof that $W_1^{a,b}$ coincide with flat metrics which is a main result of [25], and therefore we get a result of independent interest that $\left(\mathcal{M}(X), W^{a,b}_1 ight)$ is a geodesic space for every Polish metric space $X$. We also prove that $(\mathcal{M}^G(X),W_p^{a,b})$ is isometric isomorphism to $(\mathcal{M}(X/G),W_p^{a,b})$ for isometric actions of a compact group $G$ on a Polish metric space $X$; and several results of Gromov-Hausdorrf convergence and equivariant Gromov-Hausdorff convergence of generalized Wasserstein spaces. The latter results were proved for standard Wasserstein spaces in [22],[14] and [8] respectively.

研究の動機と目的

• ポーランド距離空間上での一般化 Wasserstein 距離 $W_{1}^{a,b}$ に対する Kantorovich 双対性を確立すること。
• 元々の [PR16] の証明とは独立して、$W_{1}^{a,b}$ がフラット距離と一致することを双対性を用いて再証明すること。
• 任意のポーランド距離空間 $X$ に対して、$(\mathcal{M}(X), W_{1}^{a,b})$ が測地的空間であることを示すこと。
• コンパクト群の等長作用の下で、標準 Wasserstein 空間における等長的商の結果を一般化 $W_{p}^{a,b}$ 空間に拡張すること。
• 一般化 Wasserstein 空間の文脈において、Gromov-Hausdorff 及び等長的 Gromov-Hausdorff 収束の結果を一般化すること。

提案手法

• 有界連続関数 $\varphi_1, \varphi_2$ が $\varphi_1(x) + \varphi_2(y) \leq b d(x,y)$ および $\varphi_i(x) \geq -a$ を満たす双対形式を用いて、$W_{1}^{a,b}$ の Kantorovich 双対性を導出する。双対値は $I(\varphi) = \inf_{s \geq 0} (s\varphi + a|1-s|)$ を用いて表現される。
• 双対形式が、$W_{1}^{a,b}(\mu, \nu) = \sup \left\{ \int f d(\mu - \nu) : f \in \mathbb{F} \right\}$ という Kantorovich-Rubinstein 型の恒等式を回復することを証明する。ここで $\mathbb{F}$ は $a$-有界かつ $b$-リプシッツ関数の集合を表す。
• 等長群作用の下で、押し出し写像 $p_\sharp$ を通じて $({\mathcal{M}}^G(X), W_p^{a,b})$ と $({\mathcal{M}}(X/G), W_p^{a,b})$ 間の等長同型を確立する。
• 双対性フレームワークを用いて、最適計画 $\gamma$ を双対ポテンシャル $\varphi_1, \varphi_2$ の条件および測度の絶対連続部と特異部への分解によって特徴付ける。
• Gromov-Hausdorff 位相で $X_n \to X$ ならば、$({\mathcal{M}}_p^C(X_n), W_p^{a,b})$ が $({\mathcal{M}}_p^C(X), W_p^{a,b})$ に Gromov-Hausdorff 収束することを証明する。
• 群作用 $\alpha_n \to \alpha$ が作用位相で収束するとき、一般化 Wasserstein 空間上の誘導された作用 $\alpha_n\sharp$ が等長的 Gromov-Hausdorff 位相で $\alpha_\sharp$ に収束することを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 超線形的エントロピーとコンパクト部分レベルの欠如にもかかわらず、ポーランド距離空間上での一般化 Wasserstein 距離 $W_{1}^{a,b}$ に対して Kantorovich 双対性は成立するか？
• RQ2 元々の [PR16] の証明とは独立して、$W_{1}^{a,b}$ とフラット距離の一致を双対性を用いて再証明できるか？
• RQ3 任意のポーランド距離空間 $X$ に対して、空間 $(\mathcal{M}(X), W_{1}^{a,b})$ は測地的か？
• RQ4 コンパクト群 $G$ が局所コンパクトなポーランド距離空間 $X$ に等長的に作用するとき、押し出し写像 $p_\sharp$ は $W_p^{a,b}$ に関して $\mathcal{M}^G(X)$ と $\mathcal{M}(X/G)$ 間で等長同型を誘導するか？
• RQ5 一般化 Wasserstein 空間は、その基本となる距離空間からの Gromov-Hausdorff 及び等長的 Gromov-Hausdorff 収束を継承するか？

主な発見

• Kantorovich 双対性は、双対形式 $W_{1}^{a,b}(\mu_1, \mu_2) = \sup_{(\varphi_1, \varphi_2) \in \Phi_W} \sum_i \int_X I(\varphi_i(x)) d\mu_i(x)$ を用いて確立され、ここで $I(\varphi) = \inf_{s \geq 0} (s\varphi + a|1-s|)$ である。
• 双対性により、Kantorovich-Rubinstein 型の恒等式 $W_{1}^{a,b}(\mu, \nu) = \sup \left\{ \int f d(\mu - \nu) : \|f\|_\infty \leq a, \|f\|_{\text{Lip}} \leq b \right\}$ が導かれる。これは [PR16] におけるフラット距離の一致を再証明する。
• 任意のポーランド距離空間 $X$ に対して、空間 $(\mathcal{M}(X), W_{1}^{a,b})$ は測地的である。これは独立した価値を持つ結果である。
• コンパクト群 $G$ が局所コンパクトなポーランド距離空間 $X$ に等長的に作用するとき、押し出し写像 $p_\sharp: (\mathcal{M}^G(X), W_p^{a,b}) \to (\mathcal{M}(X/G), W_p^{a,b})$ は等長写像である。
• Gromov-Hausdorff 位相で $X_n \to X$ ならば、一般化 Wasserstein 空間 $({\mathcal{M}}_p^C(X_n), W_p^{a,b})$ は $({\mathcal{M}}_p^C(X), W_p^{a,b})$ に Gromov-Hausdorff 収束する。
• 群作用 $\alpha_n \to \alpha$ が作用位相で収束するとき、誘導された作用 $\alpha_n\sharp$ は、一般化 Wasserstein 空間 $({\mathcal{M}}_p^C(X_n), W_p^{a,b})$ 上で等長的 Gromov-Hausdorff 位相で $\alpha_\sharp$ に収束する。