[論文レビュー] Duality and triple structures

Kirill C. H. Mackenzie|ArXiv.org|Jun 14, 2004

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、三重ベクトル束の双対性作用素が、余接三重ベクトル束への埋め込みを用いて、位数72の群を生成することを確立している。これは、二面体群や対称群とは異なる群である。二重ベクトル束の双対性における二面体的対称性を高次元に一般化し、超立方体の対称性に拡張されない非自明な群構造を明らかにした。また、n重ベクトル束における双対性の枠組みを提案し、(k+1)重の双対化作用素の積に関連する予想を提示した。

ABSTRACT

We first recall the basic theory of double vector bundles and the canonical pairing of their duals introduced by the author and by Konieczna and Urbanski. We then show that the relationship between a double vector bundle and its two duals can be understood simply in terms of an associated cotangent triple vector bundle. In particular we show that the dihedral group of the triangle acts on this triple via forms of the isomorphisms R introduced by the author and Ping Xu. We then consider the three duals of a general triple vector bundle and show that the corresponding group is neither the dihedral group of the square nor the symmetry group on four symbols.

研究の動機と目的

• 三重ベクトル束上の双対化作用素によって生成される群構造を理解すること。
• 従来、対称群 S3 によって支配されていた二重ベクトル束の双対理論を三重の場合に拡張すること。
• 三重ベクトル束の三つの双対と元の束が、余接 (n+1)-重ベクトル束構造の下位 n-次元面をなすことの証明。
• 三重ベクトル束における双対化から生じる対称性群を同定し、超立方体や対称群の対称性からの期待とは対照的に示すこと。

提案手法

• 本稿では、Mackenzie らが導入した双対の標準的ペアリングおよび Konieczna と Urbański の手法を用いて、与えられた二重ベクトル束から余接三重ベクトル束を構成する。
• 二重ベクトル束の三つの双対に対して作用する位数6の二面体群を、同型写像 R を用いて一般化し、Mackenzie や Xu の先行結果を拡張する。
• 三重ベクトル束に対して、三つの軸に沿った双対化作用素 X, Y, Z を定義し、それらの合成を分析する。
• GAP を用いた計算代数により、X, Y, Z によって生成される群が、(XYZ)^4 = I, (YZX)^4 = I, (ZXY)^4 = I, および X^2 = Y^2 = Z^2 = I という関係を満たすことを検証し、位数72の群が得られることを確認した。
• 三重ベクトル束を余接 (n+1)-重ベクトル束に埋め込み、元の束とその三つの双対が下位 n-次元面をなすことを示した。
• n重ベクトル束に対して、k 個の異なる双対化作用素の積を (k+1) 乗したものが単位元に一致するという一般関係 (X_{i1}...X_{ik})^{k+1} = 1 を予想した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 三重ベクトル束上の双対化作用素によって生成される群構造は何か？
• RQ2 三重ベクトル束の双対性は、二重ベクトル束の双対性とどのように異なるのか、特に対称性の観点から。
• RQ3 n重ベクトル束の双対性は、二重の場合を越えて体系的に一般化可能か？
• RQ4 なぜ三重の場合の双対化作用素の群は、対称群 S4 や正方形の二面体群と同型でないのか？
• RQ5 余接 (n+1)-重ベクトル束は、n重ベクトル束の双対構造を統一する役割を果たすのか？

主な発見

• 三重ベクトル束上の双対化作用素の群は、GAP 計算代数ソフトウェアを用いて検証されたところ、位数72である。
• この群は、正方形の二面体群や4文字の対称群とは同型でないため、予想されたよりも複雑な対称性を示している。
• 関係式 X^2 = Y^2 = Z^2 = I, (XYZ)^4 = I, (YZX)^4 = I, (ZXY)^4 = I が、群構造を完全に特徴づけている。
• 三重ベクトル束の三つの双対と元の束は、余接 (n+1)-重ベクトル束の三つの下位 n-次元面をなす。
• XYXZ, YZXY, ZXZY によって生成される部分群は位数12であり、正規部分群であり、商群は S3 に同型である。
• 本稿では、n重ベクトル束に対して、k 個の異なる双対化作用素の積を (k+1) 乗したものが単位元に一致するという関係を予想した。これは三重の場合のパターンを一般化するものである。