[論文レビュー] Duality between source coding with quantum side information and c-q channel coding

Hao–Chung Cheng, Eric P. Hanson+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 28, 2018

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ひとこと要約

本稿は、古典的ソース符号化における量子側情報と古典量子（c-q）チャネル符号化の間に双対性を確立し、一方のタスクにおける最適な誤り指数が、正確なエントロピー的関係を通じて他方のタスクにおける最適な誤り指数に対応することを示している。この双対性により、一方のタスクにおける最適な符号を他方のタスクに変換して構築でき、アーツヴェーデとデュックの古典的結果を、量子側情報とRényi発散に基づく境界を用いた量子領域に一般化する。

ABSTRACT

In this paper, we establish an interesting duality between two different quantum information-processing tasks, namely, classical source coding with quantum side information, and channel coding over c-q channels. The duality relates the optimal error exponents of these two tasks, generalizing the classical results of Ahlswede and Dueck. We establish duality both at the operational level and at the level of the entropic quantities characterizing these exponents. For the latter, the duality is given by an exact relation, whereas for the former, duality manifests itself in the following sense: an optimal coding strategy for one task can be used to construct an optimal coding strategy for the other task. Along the way, we derive a bound on the error exponent for c-q channel coding with constant composition codes which might be of independent interest.

研究の動機と目的

• 古典的ソース符号化とチャネル符号化の間の双対性を、特に側情報が量子である場合に、量子領域に拡張すること。
• Rényi発散と量子相対エントロピーを用いて、二つのタスクにおける最適誤り指数の正確なエントロピー的双対性を導出すること。
• 一方のタスクにおける最適符号化戦略を、双対性を介して他方のタスクにおける最適戦略に体系的に変換できることを示すこと。
• 定常構成符号を用いたc-qチャネル符号化における誤り指数の新しい境界を導出することにより、独立に価値のある結果を得ること。
• アーツヴェーデとデュックの古典的双対性結果を、特に量子側情報とc-qチャネルを含む量子設定に一般化すること。

提案手法

• 著者らは、各古典的系列 $ \boldsymbol{x} \to \rho_{B^n}^{\boldsymbol{x}} = \bigotimes_{i=1}^n \rho_B^{x_i} $ に対し、c-q状態 $ \rho_{X^nB^n} $ を形成する古典量子（c-q）源を定義する。
• 誤り指数を特徴付けるために、Rényi発散に基づく量 $ D_\beta^*(\rho_B^x \rVert \rho_B) $ を導入する。
• $ Q_\beta^* $ 発散のデータ処理不等式を用いて、$ \beta $-Rényi発散を介してc-qチャネル符号の誤り確率の上限を導出する。
• Rényi発散の式変換の下で、量子側情報を伴うソース符号化における最適誤り指数が、c-qチャネル符号化における最適誤り指数と一致することを示すことにより、双対性を確立する。
• 双対性を用いて、符号化と復号の写像の関数的双対性を介して、一方のタスクの最適符号を他方のタスクの符号戦略に変換する。
• 解析には、Rényi発散とタイプカウントの議論を用いて、c-qチャネル符号化における定常構成符号の誤り指数の上限を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的ソース符号化とチャネル符号化の間の双対性は、特に側情報が量子である場合に、量子領域へ拡張可能か？
• RQ2 量子側情報を伴うソース符号化とc-qチャネル符号化における最適誤り指数の正確なエントロピー的関係は何か？
• RQ3 双対性を介して、一方のタスクにおける最適符号化戦略を、他方のタスクにおける最適戦略に体系的に変換できるか？
• RQ4 Rényi発散は、量子設定における両タスクの誤り指数を特徴付けるために果たす役割は何か？
• RQ5 c-qチャネル符号化において定常構成符号を用いることで、古典的双対性フレームワークとは独立に、誤り指数の新しいタイトな境界が得られるか？

主な発見

• Rényi発散の式を介して、量子側情報を伴う古典的ソース符号化とc-qチャネル符号化の最適誤り指数の間で、正確な双対性が確立された。
• 双対性は、恒等式 $ E_{\text{sc,s}}^*(R) = \frac{1}{\beta - 1} \big[ \text{inf}_{\rho_B} \text{sum}_x Q(x) D_\beta^*(\rho_B^x \rVert \rho_B) + R - H(Q) \big] $ によって形式化され、誤り指数の式が等価であることを示している。
• 運用的双対性により、c-qチャネル符号化の最適符号から、量子側情報を伴うソース符号化の最適符号を構築でき、逆も同様に可能である。
• 定常構成符号を用いたc-qチャネル符号化における誤り指数の新しい境界が導出され、$ sc(n,R,Q) \rightarrow E_{\text{sc,s}}^*(R) - \frac{|\text{supp}(Q)|}{n} \text{log}(n+1) $ と表される。これは $ n $ が十分に大きい場合に有効である。
• 双対性はチャネルが循環的対称でない場合にも成立し、古典的結果を非対称な場合にまで一般化する。
• 量子側情報を伴うソース符号化の誤り指数は、$ E_{\text{sc,s}}^*(R) - \frac{|\text{supp}(Q)|}{n} \text{log}(n+1) $ で下から抑えられ、$ n \to \infty $ のとき補正項は消える。