[論文レビュー] Duality bounds for discrete-time Zames-Falb multipliers

Jingfan Zhang, Joaquín Carrasco+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 27, 2020

Stability and Control of Uncertain Systems参考文献 44被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、バナッハ空間の分離定理を用いて、離散時間Zames-Falb重み関数に対する計算的に効率的な双対性に基づく位相制限を提案する。これにより、閉形式解および線形計画法に基づく境界が得られ、従来の手法よりも保守的でなく、かつ著しく高速化される。明示的な重み関数の構成により境界のタイトさが確認され、反例を用いて安定化可能なプラントの集合が非凸であることが示された。

ABSTRACT

We develop phase limitations for the discrete-time Zames-Falb multipliers based on the separation theorem for Banach spaces. By contrast with their continuous-time counterparts they lead to numerically efficient results that can be computed either in closed form or via a linear program. The closed-form phase limitations are tight in the sense that we can construct multipliers that meet them with equality. We discuss numerical examples where the limitations are stronger than others in the literature. The numerical results complement searches for multipliers in the literature; they allow us to show, by construction, that the set of plants for which a suitable Zames-Falb multiplier exists is non-convex.

研究の動機と目的

• 既存の手法よりも保守的でない、数値的に効率的な離散時間Zames-Falb重み関数の位相制限を構築すること。
• 離散時間におけるZames-Falb重み関数の双対性に基づくフレームワークを確立し、線形計画法または閉形式解による取り扱いやすい計算を可能にすること。
• 導出された境界のタイトさを、境界に等号を満たす重み関数を明示的に構成することで実証すること。
• 反例を用いて、適切なZames-Falb重み関数が存在するプラントの集合が非凸であることを示すこと。
• [32]における周波数グリッドベースの位相制限法よりも、計算負荷を低減し、精度を向上させる、計算的に優れた代替手法を提供すること。

提案手法

• 本稿では、バナッハ空間における分離定理を適用し、離散時間Zames-Falb重み関数の双対性に基づく境界を導出する。
• 単一周波数解析において、双対性を用いて閉形式の位相制限を導出し、明示的な重み関数の構成により達成可能でタイトであることを示す。
• 複数周波数の場合、位相制限問題を線形計画問題として定式化し、効率的な数値計算を可能にする。
• 連続時間手法で一般的に生じる数値的グリッド化の問題を回避するために、離散時間構造を活用する。
• ヨンソンの連続時間結果にインspiredされた双対性フレームワークを、離散時間に適応させ、取り扱いやすさと効率性を向上させる。
• 数値例を用いて、[16]における探索アルゴリズムと[32]における位相制限とを比較し、結果の妥当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 離散時間Zames-Falb重み関数に対する双対性に基づく位相制限は、計算的に効率的かつ保守的でない形で計算可能か？
• RQ2 導出された位相制限はタイトであるか。つまり、等号を満たす重み関数を構成可能か？
• RQ3 提案手法は、既存の周波数グリッドベースの手法と比較して、Zames-Falb重み関数の存在・非存在をより正確かつ高速に同定できるか？
• RQ4 Zames-Falb重み関数の存在は、非凸なプラント集合に依存しており、そのような性質を構成によって示せるか？
• RQ5 提案手法の双対性に基づくアプローチは、[32]におけるブルートフォース周波数グリッド法に比べて、どのような計算的利点を有するか？

主な発見

• 閉形式の位相制限は、境界に等号を満たすZames-Falb重み関数の構成により、タイトであることが実証された。
• 複数周波数における線形計画法の定式化により、計算が著しく効率化され、[32]における16,743秒（4時間以上）を要した問題が、本手法では68.16秒にまで短縮された。
• 全テスト例において、[16]における重み関数探索と、双対性に基づく非存在境界との差は0.005%未満であり、高い精度が確認された。
• 本手法により、適切なZames-Falb重み関数が存在するプラントの集合が非凸であることが確認された。反例により、一部の利得では重み関数が存在するが、中間の利得では存在しない場合があることが示された。
• 本手法の結果は[32]のものよりも保守的でなく、Zames-Falb重み関数が存在するための利得の上界がよりタイトに評価された。
• 本手法の計算効率と精度は、[32]におけるブルートフォース周波数グリッド法を著しく上回り、特に高分解能の周波数スキャンにおいて顕著な優位性を示した。