[論文レビュー] Duality for admissible locally analytic representations

Peter Schneider, Jeremy Teitelbaum|ArXiv.org|Mar 29, 2004

Advanced Algebra and Geometry参考文献 8被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、$p$-進局所解析的群 $G$ の、$D(G,K)$-加群の有界な導来カテゴリ上に双対性関手を構成し、古典的な滑らか双対性を拡張する。この双対性は、双対化モジュールを用いた導来ホモロジーを介して実現され、滑らか双対性を次数シフトとともに誘導し、主系列表現への作用を計算することで、$\dim P$ の次数で自己双対となるExt群を得る。構成は、分布代数 $D(G,K)$ のアンドウ・オースラーレジュラーに近い構造と、Fréchet-Stein代数との関係に依拠する。

ABSTRACT

We study the problem of constructing a contragredient functor on the category of admissible locally analytic representations of a p-adic analytic group G. A naive contragredient does not exist. As a best approximation, we construct an involutive "duality" functor from the bounded derived category of modules over the distribution algebra of G with coadmissible cohomology to itself. On the subcategory corresponding to complexes of smooth representations, this functor induces the usual smooth contragredient (with a degree shift). Although we construct our functor in general we obtain its involutivity, for technical reasons, only in the case of locally Qp-analytic groups.

研究の動機と目的

• 局所解析的 $p$-進群 $G$ の、$D(G,K)$-加群の有界導来カテゴリ上に双対性関手を構成すること。
• 古典的な滑らか双対性を、適応局所解析的表現の設定に拡張すること。
• 局所 $\mathbb{Q}_p$-解析的群の場合に、新しく構成された双対性関手が自己双対的（involutive）であることの証明。
• 主系列表現への双対性関手の作用を計算し、$\dim P$ の次数で自己双対性が生じることを示すこと。
• アンドウ・オースラーレジュラーに近い構造を持つ $D(G,K)$ の文脈において、双対性関手とグローバル双対性 $M \mapsto R\mathrm{Hom}_A(M,A)$ の関係を確立すること。

提案手法

• $\mathfrak{D}_K(G)$ を、$G$ 上のcompactly supported局所解析的関数の双対モジュールとするとき、双対性関手を $R\mathrm{Hom}_{D(G,K)}(-, \mathfrak{D}_K(G))$ として構成する。
• $G$ のコンパクト開部分群 $H \subset G$ に対して、$D(G,K)$ が $D(H,K)$ 上自由であり、$D(H,K)$ がFréchet-Stein代数であるという事実を利用する。
• $A$ がアンドウ・レジュラーなバナッハ代数であるとき、コアドミッスィブ $A$-加群 $M$ に対して $\mathrm{Ext}^*_A(M, A)$ がコアドミッスィブであるという事実を活用する。
• シャピロの補題を用いて、$D(G,K)$-加群と $D(H,K)$-加群の間の関係を確立し、双対性データを移行する。
• $o[[P_0]]$ のノエター性と $D^c(P_0,K) \to D(P_0,K)$ の平坦性を用いて、$K_{\chi^{-1}}$ を $D(P_0,K)$-加群としての分解を構成する。
• 命題6.4を適用し、$D(P,K)$-加群へのベースチェンジを経由して、$\mathrm{Ext}^*_{D(G,K)}(\mathrm{Ind}_P^G(\chi)^\prime, \mathfrak{D}_K(G))$ を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ナチュラルな双対表現が存在しない状況において、適応局所解析的表現のための双対性関手をどのように構成できるか？
• RQ2 コアドミッスィブ $D(G,K)$-加群上の導来双対性が、滑らか表現の部分カテゴリ上で、次数シフトを除いて標準的滑らか双対性を誘導するか？
• RQ3 局所 $\mathbb{Q}_p$-解析的群の場合に、構成された双対性関手が有界導来カテゴリ上で自己双対的か？
• RQ4 パラボリック部分群 $P$ から誘導される主系列表現への双対性関手の作用は何か？
• RQ5 $D(G,K)$ のようなほぼアンドウ・オースラーレジュラーな環の文脈において、双対性関手とグローバル双対性 $M \mapsto R\mathrm{Hom}_A(M,A)$ の関係は何か？

主な発見

• 局所 $\mathbb{Q}_p$-解析的群 $G$ の場合、コアドミッスィブ $D(G,K)$-加群の有界導来カテゴリ上での双対性関手は自己双対的である。
• 双対性関手は、滑らか表現の部分カテゴリ上で、次数シフトを除いて標準的滑らか双対性を誘導する。
• 主系列表現 $\mathrm{Ind}_P^G(\chi)^\prime$ に対して、$\mathfrak{D}_K(G)$ への非自明な $\mathrm{Ext}^*$ 群は $\dim P$ の次数でのみ非自明であり、$\mathrm{Ind}_P^G((\chi \delta_P)^{-1})^\prime$ に同型である。
• 双対化モジュール $\mathfrak{D}_K(G)$ は、$G$ 上のcompactly supported局所解析的関数空間の強い双対に、モジュラス特性に沿ったtwistを施したものと同型である。
• $\mathrm{Ext}^*_{D(P,K)}(K_{\chi^{-1}}, \mathfrak{D}_K(P))$ の $\mathrm{Ext}^*$-群は、$\dim P$ の次数で $K_{(\chi \delta_P)^{-1}}$ に同型であり、それ以外の次数ではゼロであり、右 $D(P,K)$-加群としての構造を持つ。
• $o[[P_0]]$ のノエター性と $D^c(P_0,K) \to D(P_0,K)$ の平坦性により、$K_{\chi^{-1}}$ を $D(P_0,K)$-加群としての分解が存在する。