[論文レビュー] Duality for coalescing stochastic flows on the real line

Georgii Riabov|arXiv (Cornell University)|Mar 21, 2019

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 6被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、測度的力学系上での後向き完全コサイクルとして、実数直線上のコalescing確率的流れのクラスに対して双対確率的流れの存在を確立する。主な貢献は、双対流れがduality条件 (ψ_{s,t}(x)−y)(x−ψ̃_{t,s}(y))≥0 を満たすことを証明し、漂い付きのArratia流れにこの枠組みを適用することで、双対が逆向きの漂いを有する後向きArratia流れであることを示したことである。

ABSTRACT

For a class of coalescing stochastic flows on the real line the existence of dual flows is proved. A stochastic flow and its dual are constructed as a forward and backward perfect cocycles over the same metric dynamical system. The metric dynamical system itself is defined on a new state space for coalescing flows. General results are applied to Arratia flows with drift.

研究の動機と目的

• 実数直線上のコalescing確率的流れのクラスに対して、双対確率的流れの存在を確立すること。
• 測度的力学系上での後向き完全コサイクルとして双対流れを構成すること。
• 双対流れがduality条件 (ψ_{s,t}(x)−y)(x−ψ̃_{t,s}(y))≥0 をほとんど確実に満たすことを証明すること。
• 一般枠組みを漂い付きのArratia流れに適用し、双対が逆向きの漂い−aを有する後向きArratia流れであることを示すこと。
• 双対流れの有限点運動が、逆向きの漂いを有するSDEの弱解に対応することを示すこと。

提案手法

• 測度的力学系 (θ_h) を用いて、前向き流れ ψ を完全コサイクル φ で表す：ψ_{s,t}(x) = φ(t−s, θ_sω, x)。
• 双対流れを後向き完全コサイクル ṫφ として構成し、ψ̃_{t,s}(x) = ṫφ(t−s, θ_sω, x) とする。
• duality条件 (ψ_{s,t}(x)−y)(x−ψ̃_{t,s}(y))≥0 を用いて、前向き流れの一般化逆関数を用いて双対写像を定義する。
• 一般化逆関数 v⁺ と v⁻ が個別には後向き流れを満たさないが、適切な選択により有効な後向き確率的流れが得られることを証明する。
• 漂い付きのArratia流れに理論2.1および補題6.1の連続性と遷移確率に関する条件を満たすかを検証することで、枠組みを漂い付きのArratia流れに適用する。
• 双対流れの一点運動がSDE dX(t) = −a(X(t))dt + dW(t) を満たすことを確認し、逆向きの漂いが得られることを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コalescing確率的流れのクラスに対して、duality条件 (ψ_{s,t}(x)−y)(x−ψ̃_{t,s}(y))≥0 を満たす双対確率的流れは存在するか？
• RQ2 双対流れは測度的力学系上での後向き完全コサイクルとして構成可能か？
• RQ3 漂い付きのArratia流れに対して、双対流れは逆向きの漂い−aを有する後向きArratia流れか？
• RQ4 双対流れの有限点運動は、逆向きの漂いを有するSDEの弱解に対応するか？
• RQ5 確率的力学系によるコサイクル表現において、duality条件は保存されるか？

主な発見

• 双対流れは存在し、測度的力学系上での後向き完全コサイクルとして構成され、duality条件をほとんど確実に満たす。
• 漂い付きのArratia流れ（漂いa）に対して、双対流れは逆向きの漂い−aを有する後向きArratia流れであり、その一点運動は dX(t) = −a(X(t))dt + dW(t) を満たす。
• 双対流れの遷移密度は ∂ₜp̃(y,x) = −a(y)∂yp̃(y,x) + ½∂²yp̃(y,x) を満たし、逆向きの漂いが確認される。
• 一般化逆関数 v⁺ と v⁻ は個別には後向き発展性を満たさないが、適切な選択により有効な後向き流れが得られる。
• 連続性条件 w_{α,β}(ε,δ) ≥ (ε/(4g⁻¹(ε²δ/32)))² が成り立つことで、確率的力学系表現の存在が保証される。
• duality条件はコサイクル表現下でも保存され、双対流れは出会うまでの時間においてマークフ・性質と独立増分を有する。