[論文レビュー] Duality for Lie-Rinehart algebras and the modular class

Johannes Huebschmann|ArXiv.org|Feb 8, 1997

Advanced Topics in Algebra参考文献 5被引用数 11

ひとこと要約

この論文は、基本的クラスとのキャップ積を用いて、Lie-Rinehart代数の双対性理論を提示する。これは、Lie代数およびde Rhamコホモロジーにおけるポアンカーレ双対性を一般化する。モジュラーモジュールを一般化されたピカール群内の内在的モジュールとして定義し、適切な性質を満たすポアソン代数がこのクラスを生成することを示し、ポアソンホモロジーにおける双線形対応を導く。

ABSTRACT

We introduce a notion of duality for a Lie-Rinehart algebra giving certain bilinear pairings in its cohomology generalizing the usual notions of Poincaré duality in Lie algebra cohomology and de Rham cohomology. We show that the duality isomorphisms can be given by a cap product with a suitable fundamental class and hence may be taken natural in any reasonable sense. Thereafter, for a Lie-Rinehart algebra satisfying duality, we introduce a certain intrinsic module which provides a crucial ingredient for the construction of the bilinear pairings. This module determines a certain class, called modular class of the Lie-Rinehart algebra, which lies in a certain Picard group generalizing the abelian group of flat line bundles on a smooth manifold. Finally, we show that a Poisson algebra having suitable properties determines a certain module for the corrresponding Lie-Rinehart algebra and hence modular class whose square yields the module and characteristic class for its Lie-Rinehart algebra mentioned before. In particular, this gives rise to certain bilinear pairings in Poisson homology.

研究の動機と目的

• コホモロジーにおける双対性同型を用いて、Lie-Rinehart代数へのポアンカーレ双対性の一般化を図ること。
• キャップ積を介して双対性を誘導する、標準的な基本的クラスの定義。
• 一般化されたピカール群における特徴的クラスとしてのモジュラーモジュールの導入。
• 適切な性質を満たすポアソン代数が、Lie-Rinehart代数およびそのモジュラーモジュールをどのように生成するかの関係の確立。
• モジュラーモジュールおよびその平方を用いて、ポアソンホモロジーにおける双線形対応を確立すること。

提案手法

• コホモロジーにおける基本的クラスとのキャップ積を用いて、Lie-Rinehart代数に双対性構造を導入する。
• Lie-Rinehart代数に関連する内在的モジュールを構成し、これによりモジュラーモジュールを定める。
• モジュラーモジュールを一般化されたピカール群の元として定義し、滑らかな多様体上の平坦線束の概念を拡張する。
• モジュラーモジュールの平方が、Lie-Rinehart代数モジュールの特徴的クラスに対応することを示す。
• 双対性同型を用いて、コホモロジーにおける双線形対応を定義し、古典的双対性定理を一般化する。
• モジュール論的構成を用いて、適切な性質を満たすポアソン代数とLie-Rinehart代数との間の対応を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして、ポアンカーレ双対性をLie-Rinehart代数の文脈に一般化できるか？
• RQ2 基本的クラスは、Lie-Rinehartコホモロジーにおける双対性同型を誘導する上で果たす役割は何か？
• RQ3 Lie-Rinehart代数のモジュラーモジュールはどのように定義され、一般化されたピカール群における意義は何か？
• RQ4 どのような方法で、ポアソン代数がLie-Rinehart代数およびそのモジュラーモジュールを生じさせるか？
• RQ5 モジュラーモジュールおよびその平方から生じるポアソンホモロジーにおける双線形対応は何か？

主な発見

• 基本的クラスとのキャップ積を用いたLie-Rinehartコホモロジーにおける双対性同型が確立され、古典的双対性定理が一般化される。
• モジュラーモジュールは、一般化されたピカール群の元として定義され、滑らかな多様体上の平坦線束の概念が拡張される。
• モジュラーモジュールの平方は、Lie-Rinehart代数に関連するモジュールの特徴的クラスをもたらす。
• 適切な性質を満たすポアソン代数に対して、関連するLie-Rinehart代数は標準的モジュールおよびモジュラーモジュールを備える。
• これらの構成は、双対性をポアソン構造へ拡張する、well-definedな双線形対応をもたらす。
• 双対性同型は、標準的基底的クラスから生じるため、圏論的な意味で自然である。