[論文レビュー] Duality for partial group actions

Christian Lomp|ArXiv.org|Nov 6, 2007

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 10被引用数 19

ひとこと要約

この論文は、Cohen-Montgomery双対性を一般化することで、部分群作用に関する双対性理論を確立している。部分スケュー群環 $\tau*_{\alpha}G$ と双対群環 $k[G]^*$ のスメール積は、$M_n(\mathcal{A})$ 内の特定の冪等元 $\mathbf{e}$ を用いて、直積 $K \times \mathbf{e}M_n(\mathcal{A})\mathbf{e}$ に同型であることが示されている。また、$\mathcal{A}*_{\alpha}G$ は $\mathbf{e}M_n(\mathcal{A})\mathbf{e}$ 内に分離的部分代数として埋め込まれており、古典的双対性を部分作用の設定に拡張している。

ABSTRACT

Given a finite group G acting as automorphisms on a ring A, the skew group ring A*G is an important tool for studying the structure of G-stable ideals of A. The ring A*G is G-graded, i.e.G coacts on A*G. The Cohen-Montgomery duality says that the smash product A*G#k[G]^* of A*G with the dual group ring k[G]^* is isomorphic to the full matrix ring M_n(A) over A, where n is the order of G. In this note we show how much of the Cohen-Montgomery duality carries over to partial group actions in the sense of R.Exel. In particular we show that the smash product (A*_αG)#k[G]^* of the partial skew group ring A*_αG and k[G]^* is isomorphic to a direct product of the form K x eM_n(A)e where e is a certain idempotent of M_n(A) and K is a subalgebra of (A *_αG)#k[G]^*. Moreover A*_αG is shown to be isomorphic to a separable subalgebra of eM_n(A)e. We also look at duality for infinite partial group actions and for partial Hopf actions.

研究の動機と目的

• グローバル群作用に対する古典的Cohen-Montgomery双対性を、部分群作用の設定に拡張すること。
• 有限群 $G$ の部分作用に対するスメール積 $(\mathcal{A}*_{\alpha}G)\#k[G]^*$ の構造を調査すること。
• スメール積の像を行列環と冪等元を用いて特定すること。
• 無限大の部分群作用および部分ホップ作用への双対性の一般化を図ること。

提案手法

• 乗法 $(a\overline{g})(b\overline{h}) = \alpha_g(\alpha_{g^{-1}}(a)b)\overline{gh}$ を持つ、部分スケュー群環 $\mathcal{A}*_{\alpha}G = \bigoplus_{g\in G}D_g$ を用いる。
• 中心的冪等元によって生成されるイデアル $D_g = \mathcal{A}1_g$ を用いて、$\mathcal{A}*_{\alpha}G$ に $G$-次数を定義する。
• 写像 $g\cdot a = \alpha_g(a1_{g^{-1}})$ を導入し、$k$-線形写像 $k[G]\otimes\mathcal{A} \to \mathcal{A}$ を定義する。
• 双対群環 $k[G]^*$ を基底 $p_g$ を持つものとして用い、スメール積 $(\mathcal{A}*_{\alpha}G)\#k[G]^*$ を構成する。
• スメール積の像を $K \times \mathbf{e}M_n(\mathcal{A})\mathbf{e}$ と特定する。ここで $\mathbf{e} = \sum_i (b_i\cdot 1)\otimes \rho(S^{-1}(p_i)\otimes 1)$ である。
• 部分ホップ作用に一般化されたBlattner-Montgomery双対性を、部分スメール積 $\underline{\mathcal{A}\#H}\#H^*$ を用いて適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 部分群作用の文脈において、Cohen-Montgomery双対性のどの部分が維持されるのか。
• RQ2 有限群 $G$ の部分作用に対するスメール積 $(\mathcal{A}*_{\alpha}G)\#k[G]^*$ の構造は何か。
• RQ3 部分スケュー群環 $\mathcal{A}*_{\alpha}G$ は、双対性を用いて $\mathcal{A}$ 上の行列代数へ埋め込めるか。
• RQ4 双対性は、無限大の部分群作用および部分ホップ作用へどのように拡張されるか。

主な発見

• スメール積 $(\mathcal{A}*_{\alpha}G)\#k[G]^*$ は、部分代数 $K$ と $M_n(\mathcal{A})$ 内の中心的冪等元 $\mathbf{e}$ を用いて、$K \times \mathbf{e}M_n(\mathcal{A})\mathbf{e}$ に同型である。
• 部分スケュー群環 $\mathcal{A}*_{\alpha}G$ は、$\mathbf{e}M_n(\mathcal{A})\mathbf{e}$ 内の分離的部分代数として同型である。
• $\Phi: \mathcal{A}\otimes H\#H^* \to \mathcal{A}\otimes \mathrm{End}_k(H)$ を $a\otimes h\#f \mapsto \phi(a)\psi(h\#f)$ で定義する写像は代数準同型である。
• 写像 $\Phi$ による部分スメール積 $\underline{\mathcal{A}\#H}\#H^*$ の像は、$\mathbf{e}(\mathcal{A}\otimes \mathrm{End}_k(H))\mathbf{e}$ 内に存在する。
• 冪等元 $\mathbf{e} = \sum_i (b_i\cdot 1)\otimes \rho(S^{-1}(p_i)\otimes 1)$ は $\mathbf{e}^2 = \mathbf{e}$ を満たし、$\underline{\mathcal{A}\#H}\#H^*$ の単位元の像である。