[論文レビュー] Duality in nondominated discrete-time models for Americain options

Shuoqing Deng, Xiaolu Tan|arXiv (Cornell University)|Apr 1, 2016

Stochastic processes and financial applications被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、混合動的・静的取引を伴う離散時間モデルにおけるアメリカン・オプションの価格設定・ヘッジの双対性を、普遍的な市場拡大の導入により回復することで、双対性の成立を確立する。元来の定式化では動的整合性の欠如により双対性が成立しないが、すべての資産が動的に取引可能となる動的整合性のある拡張により、双対性が回復される。これは、BouchardとNutz（2015）やマルティンゲール最適輸送といった堅牢な枠組みに一般に適用可能である。

ABSTRACT

We investigate pricing-hedging duality for American options in discrete time financial models where some assets are traded dynamically and others, e.g. a family of European options, only statically. In the first part of the paper we consider an abstract setting, which includes the classical case with a fixed reference probability measure as well as the robust framework with a non-dominated family of probability measures. Our first insight is that by considering a (universal) enlargement of the space, we can see American options as European options and recover the pricing-hedging duality, which may fail in the original formulation. This may be seen as a weak formulation of the original problem. Our second insight is that lack of duality is caused by the lack of dynamic consistency and hence a different enlargement with dynamic consistency is sufficient to recover duality: it is enough to consider (fictitious) extensions of the market in which all the assets are traded dynamically. In the second part of the paper we study two important examples of robust framework: the setup of Bouchard and Nutz (2015) and the martingale optimal transport setup of Beiglbock et al. (2013), and show that our general results apply in both cases and allow us to obtain pricing-hedging duality for American options.

研究の動機と目的

• 混合動的・静的取引を伴う離散時間モデルにおける価格設定・ヘッジの双対性の失敗を解消すること。
• 双対性の失敗の根本的原因が市場モデルにおける動的整合性の欠如にあることを特定すること。
• 動的整合性を実現する市場拡大を用いた一般化された枠組みを構築し、双対性を回復すること。
• 一般化された結果を、BouchardとNutz（2015）やマルティンゲール最適輸送といった具体的な堅牢な枠組みに適用すること。
• 非支配的かつ堅牢な設定において、ヨーロピアン・オプションからアメリカン・オプションへの双対性理論の拡張を図ること。

提案手法

• アメリカン・オプションをヨーロピアン・オプションとして再解釈できる普遍的な確率空間の拡大を導入し、双対性の回復を可能にする。
• すべての資産が動的に取引可能となる動的整合性のある市場拡大を用い、双対性の成立を保証する。
• 固定された確率測度および非支配的族の測度を含む抽象的設定にこの枠組みを適用する。
• モデルの不確実性を許容するBouchardとNutz（2015）の堅牢な枠組みへの適用を示す。
• デリバティブの堅牢価格設定で知られるBeiglboeckら（2013）のマルティンゲール最適輸送の設定へも同様の手法を拡張する。
• 凸双対性と任意停止の性質を活用し、抽象的および具体的な設定の両方で主要な結果を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 混合動的・静的取引を伴う離散時間モデルにおいて、なぜ価格設定・ヘッジの双対性が失敗するのか？
• RQ2 市場モデルの構造を変更することで双対性を回復できるか。もし可能であれば、その方法は何か？
• RQ3 動的整合性は、アメリカン・オプションにおける双対性の成立にどのような役割を果たすか？
• RQ4 提案された拡大技術は、BouchardとNutz（2015）のような堅牢な枠組みに適用可能か？
• RQ5 マルティンゲール最適輸送の設定へ、双対性枠組みをアメリカン・オプションに拡張できるか？

主な発見

• 混合動的・静的取引の元来の定式化では、動的整合性の欠如により価格設定・ヘッジの双対性が成立しない。
• すべての資産が動的に取引可能となる市場の拡大により、動的整合性のある枠組みで双対性が回復される。
• 確率空間の普遍的拡大により、アメリカン・オプションをヨーロピアン・オプションとして取り扱えるようになり、双対性が回復される。
• 一般化された双対性枠組みは、BouchardとNutz（2015）の堅牢モデルに適用可能であり、その設定においてアメリカン・オプションの双対性が確立される。
• Beiglboeck ら（2013）のマルティンゲール最適輸送の設定へも結果が拡張され、その堅牢な枠組みでも双対性が成立することが確認される。
• 核心的な洞察は、双対性の失敗がモデルの不確実性そのものに起因するのではなく、取引ダイナミクスにおける構造的不整合に起因するということである。