[論文レビュー] Duality of cones of positive maps

Erling Størmer|ArXiv.org|Oct 23, 2008

Advanced Topics in Algebra参考文献 9被引用数 20

ひとこと要約

この論文は、有限次元 C*-代数間の正線形写像の錐に対する双対性フレームワークを確立し、任意の写像錐に対するホロデツキ定理の一般化を実現する。K-正写像の双対錐はチョイ行列の正定値性によって特徴づけられ、二重双対錐が元の錐に回復することを証明する。これにより、分解可能写像とPPT状態への応用が得られ、PPT状態が分解可能写像の双対に正確に対応することを示す。

ABSTRACT

We study the so-called K-positive linear maps from B(L) into B(H) for finite dimensional Hilbert spaces L and H and give characterizations of the dual cone of the cone of K-positive maps. Applications are given to decomposable maps and PPT-states.

研究の動機と目的

• 有限次元 C*-代数における任意の写像錐 K に対して、K-正写像の双対錐を特徴づけること。
• 分離可能性とPPT状態に関するホロデツキ定理を一般写像錐へ拡張すること。
• K-正写像の錐とその双対錐の間の双対性を確立し、二重双対錐が元の錐に回復することを証明すること。
• チョイ行列とテンソル積の正定値性を用いて、分解可能写像、PPT状態、およびそれらの双対錐の関係を明確にすること。

提案手法

• 線形写像 $ \theta $ の正定値性を特徴づけるために、$ C_{\theta} = \text{id} \otimes \theta(p) $ というチョイ行列表現を用いる。ここで $ p $ は最大にエンタングルされた状態である。
• 錐 $ S \subset B(M,H)^+ $ の双対錐 $ S^{\flat} $ を、すべての $ \psi \in S $ に対して $ \text{Tr}(C_{\theta} C_{\psi}) \geq 0 $ を満たすことで定義する。
• 双対性構造を捉えるために、$ P(M,K) = \{ x \in M \otimes B(H) : \text{id} \otimes \alpha(x) \geq 0 \; \forall \alpha \in K \} $ という錐を導入する。
• ハーン＝バナッハの定理を適用して錐の等式を証明し、特に $ P(M,P) = P(M,CP(H)) \vee P(M,Cop(H)) $ を示す。ここで $ P $ はPPT写像の錐である。
• 転置写像 $ t $ 及びその写像と錐への作用を用いて、双対錐 $ K^t $ と $ K^{\sharp} $ を定義し、$ D = P^{\sharp} $ を証明する。
• 写像 $ \theta $ の双対関数 $ \tilde{\theta} $ と $ \tilde{\theta} \circ (\text{id} \otimes \alpha^*) $ の正定値性を用いて、双対錐を特徴づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限次元 C*-代数における任意の写像錐 K に対して、K-正写像の双対錐はどのように特徴づけられるか？
• RQ2 分解可能写像の双対錐とPPT状態の錐の間の関係は何か？
• RQ3 K-正写像の錐の二重双対錐は元の錐に回復するか。どのような条件下で成立するか？
• RQ4 双対性フレームワークは、ホロデツキ定理を一般写像錐へどのように拡張するか？
• RQ5 双対錐 $ P^{\sharp} $ の正確な構造は何か。また、分解可能写像の錐とはどのように関係しているか？

主な発見

• K-正写像の双対錐は、$ C_{\theta} \in P(M,K^t) $ であるという条件によって特徴づけられ、双対錐への属するためのチョイ行列基準が得られる。
• K-正写像の錐の二重双対錐は元の錐に等しく、双対性がこのような錐の集合上で対合であることを証明する。
• PPT写像（すなわち、完全正と反転正の両方を満たす写像）の錐 $ P $ に対して、分解可能写像の錐の双対錐は正確に $ P $-正写像の錐に一致する。
• 分解可能写像の錐 $ D $ は、$ D = P^{\sharp} $ を満たす。ここで $ P^{\sharp} $ は、すべての $ \beta \in P $ に対して $ \alpha \circ \beta^* \in CP(H) $ となる $ \alpha \in P^{\sharp} $ として定義される双対写像錐である。
• 写像 $ \phi \in \mathcal{P}(H) $ が分解可能であるための必要十分条件は、$ \omega \circ (\text{id} \otimes \phi^*) \geq 0 $ が錐 $ F = \{ x \in B(H \otimes H)^+ : \text{id} \otimes t(x) \geq 0 \} $ 上で成り立つことである。ここで $ \omega $ は最大にエンタングルされた状態である。
• 双対性フレームワークにより、$ n \leq \dim H $ の条件下で、$ \tilde{\phi} $ が分離可能であることは $ \phi $ が $ \mathcal{P}(H) $-正であることと同値であることが確認され、ホロデツキ定理が拡張される。