[論文レビュー] Duality Rotations in Nonlinear Electrodynamics and in Extended Supergravity

Paolo Aschieri, S. Ferrara+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 25, 2008

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 96被引用数 54

ひとこと要約

本稿は、4次元非線形電磁力学および拡張超重力における双対性回転の一般理論を確立し、ゲージカイネティック行列が大域的群 $ G igsubset Sp(2n,\mathbb{R}) $ によるシンプレクティック変換を介して変化するとき、双対性対称性が生じることを示している。主な貢献は、双対性不変性の必要十分条件の同定であり、Born-Infeld理論および $ N=2 $ 超重力への応用において、特別なケーラー多様体の幾何構造および理論自体の定式化において双対性回転が不可欠であることが示されている。

ABSTRACT

We review the general theory of duality rotations which, in four dimensions, exchange electric with magnetic fields. Necessary and sufficient conditions in order for a theory to have duality symmetry are established. A nontrivial example is Born-Infeld theory with n abelian gauge fields and with Sp(2n,R) self-duality. We then review duality symmetry in supergravity theories. In the case of N=2 supergravity duality rotations are in general not a symmetry of the theory but a key ingredient in order to formulate the theory itself. This is due to the beautiful relation between the geometry of special Kaehler manifolds and duality rotations.

研究の動機と目的

• 4次元非線形電磁力学におけるアーベルゲージ場が複数存在する場合の双対性対称性の必要十分条件を確立すること。
• 双対性回転が $ N=2 $ 超重力において対称性ではないが、理論の幾何的定式化に不可欠である役割を明確にすること。
• $ N>2 $ の拡張超重力へ双対性不変性を一般化し、スカラー多様体 $ G/H $ および双対性群 $ G $ のシンプレクティック表現がベクトル-スカラー結合をどのように決定するかを示すこと。
• 双対性対称性が、$ \mathcal{N} \to (C + D\mathcal{N})(A + B\mathcal{N})^{-1} $ の形で $ Sp(2n,\mathbb{R}) $ 変換によって実現されることを示すこと。
• フェルミオン結合項が双対性不変性によって一意に固定され、その構造が超対称的 Born-Infeld型ラグランジアンの構築に根拠をなしていることを示すこと。

提案手法

• レジェンドル変換とハミルトニアン形式を用いて、非線形電磁力学における双対性不変性の一般条件を導出し、双対性対称性が場強度テンソルの $ Sp(2n,\mathbb{R}) $ 変換に対する不変性に対応することを示している。
• ゲージカイネティック行列 $ \mathcal{N} $ を導入し、これが $ Sp(2n,\mathbb{R}) $ による分数線形変換を経て変化することを示し、$ G \subset Sp(2n,\mathbb{R}) $ に対する $ \mathcal{N} $ の不変性が双対性対称性の必要条件であることを示している。
• 補助場を用いて $ n $ 個のアーベルゲージ場を持つ一般化された Born-Infeld ラグランジアンを構成し、制約を介して補助場を消去することで双対性不変な作用を回復している。
• スカラー場とベクトル場の結合を、非コンパクト群 $ G $ とその最大コンパクト部分群 $ H $ による商多様体 $ G/H $ 上の非線形シグマ模型として分析し、$ G $ がシンプレクティック表現によって作用することを示している。
• $ N=2 $ 超重力において、双対性回転は対称性ではないが、特別なケーラー多様体の幾何構造および $ \mathcal{N} $ の変換性のため、理論を定義するために不可欠であることを示している。
• 形式的枠組みを $ N>2 $ の拡張超重力に適用し、スカラー多様体 $ G/H $ とベクトル multiplet の数 $ n $ が双対性群 $ G \subset Sp(2n,\mathbb{R}) $ を決定することを示し、表1における明示的例を提示している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非線形電磁力学理論が電磁双対性回転に対して不変であるための必要十分条件は何か？
• RQ2 $ N=2 $ 超重力における双対性回転は、特別なケーラー多様体の幾何学とどのように関係しているか？
• RQ3 拡張超重力 $ N>2 $ において、双対性群 $ G $ はスカラー多様体 $ G/H $ およびベクトル multiplet の数とどのように関係しているか？
• RQ4 フェルミオン結合項は双対性不変性によってどのように制約され、ラグランジアンにおいてどのような形をとるか？
• RQ5 非可換テンソル場を用いて、双対性対称性を高次元理論へ一般化できるか？ 4次元においてはどのように現れるか？

主な発見

• 非線形電磁力学における双対性不変性は、場強度テンソルの $ Sp(2n,\mathbb{R}) $ 変換に対する不変性に等しく、ゲージカイネティック行列 $ \mathcal{N} $ は分数線形変換を介して変化する。
• $ n $ 個のアーベルゲージ場を持つ Born-Infeld ラグランジアンは $ Sp(2n,\mathbb{R}) $ 雙対性回転に対して不変であり、非線形電磁力学における双対性対称性の非自明な例を提供している。
• $ N=2 $ 超重力において、双対性回転は対称性ではないが、スカラー多様体の特別なケーラー構造と関連し、理論の幾何的定式化に不可欠である。
• $ N>2 $ の拡張超重力において、双対性群 $ G $ は $ Sp(2n,\mathbb{R}) $ の部分群であり、$ G $ はシンプレクティック表現によって作用し、スカラー多様体は $ G/H $ である。
• ベクトル場へのフェルミオン結合項は双対性不変性によって一意に決定され、その形式はパウリ型項でなければならない。これにより理論のシンプレクティック構造と整合性が保証される。
• $ N=8 $, $ D=4 $ 超重力理論では双対性群 $ G = E_{7,(7)} $ であり、$ D=5 $ 減衰と元来の Cremmer-Julia作用素から得られる2つの双対的定式化は、レジェンドル変換を介した双対性回転によって関連している。