[論文レビュー] Duality Structure, Asymptotic analysis and Emergent Fractal sets

Dhurjati Prasad Datta, Soma Sarkar|arXiv (Cornell University)|Jan 12, 2016

Complex Systems and Time Series Analysis被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、実数直線の非アルキメデス的拡張を用いて、複雑で微分不可能な系をモデル化するための漸近解析における双対構造を導入する。この双対構造から、カントール型フラクタルにおけるべき則則波減衰および微分可能性が自然に導かれることが示され、物理学、生物学、ファイナンス分野における複雑系のモデル化に新たな枠組みを提供する。

ABSTRACT

A new, extended nonlinear framework of the ordinary real analysis incorporating a novel concept of {\em duality structure} and its applications into various nonlinear dynamical problems is presented. The duality structure is an asymptotic property that should affect the late time asymptotic behaviour of a nonlinear dynamical system in a nontrivial way leading naturally to signatures generic to a complex system. We argue that the present formalism would offer a natural framework to understand the abundance of complex systems in natural, biological, financial and related problems. We show that the power law attenuation of a dispersive, lossy wave equation, conventionally deduced from fractional calculus techniques, could actually arise from the present asymptotic duality structure. Differentiability on a Cantor type fractal set is also formulated.

研究の動機と目的

• 非線形系の遅刻挙動に影響を与える双対構造を漸近的性質として組み込んだ、実解析の新しい非線形枠組みを構築すること。
• 乱流、カオス的アトラクタ、金融時系列といった複雑系を記述するうえで、標準的実解析の限界を克服すること。
• カントール集合のようなフラクタル集合における微分可能性を、双対構造に依存しない非アルキメデス的拡張を用いて定式化すること。
• 通常は分数階微積分を用いて導かれるべきべき則則波減衰が、提案された双対構造からも自然に導かれることが示されること。
• 連続的ではあるが微分不可能な関数が定義されるフラクタル集合に適用可能な、双対構造に依存しないジャンプ微分積分法を確立すること。

提案手法

• 任意の点の十分小さな近傍においても、標準的ルベーグ測度が消える中でも非ゼロのまま保たれる、双対構造に依存する可視性測度を導入する。
• 0 < |x| < 1 および s > 0 の範囲で変換 x ↦ X̃⁻¹ = |x|⁻ˢ を組み込んだ非アルキメデス的拡張を用いて、実数直線 ℝ を構造的で柔らかく、非アルキメデス的な実数体系 ℝ* に拡張する。
• カントール集合のようなフラクタル構成におけるギャップを跨ぐ測度関数の連続性を保証する、基本的選択原理を適用する。
• 自己同相似性とスケーリングを用いて、0 の延長上でのスケール不変微分方程式 dfc(X)/dX = 1 を導出し、カントール階段関数を得る。
• 変形測度 dX(x) の下で通常微分と同等に機能するジャンプ微分 DJ を定義し、フラクタル空間上でのリーマン＝スティルチェス積分を可能にする。
• ジャンプ微分方程式 DJy = χC(x)f(x,y) の形で、フラクタル集合上でのみ変化する1階微分方程式をモデル化する。ここで χC はカントール集合の特性関数である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 漸近解析における双対構造は、非線形力学系において複雑系の非自明な特徴をどのようにもたらすか？
• RQ2 分散的で損失のある媒質におけるべき則則波減衰は、分数階微積分を用いずに、漸近的双対構造のみを用いて導けるか？
• RQ3 カントール集合のような非稠密かつ測度ゼロのフラクタル集合上で、一般化された微積分枠組み内での微分可能性をどのように定義できるか？
• RQ4 双対構造に依存する可視性測度は、実数直線の非アルキメデス的拡張を可能にする上で果たす役割は何か？
• RQ5 フラクタル上でのジャンプ微分積分法は、変形測度 dX(x) を介して標準的微積分とどのように関係するか？

主な発見

• 双対構造により、実数直線 ℝ の非アルキメデス的拡張 ℝ* が得られ、双対構造に依存する可視性測度が、点の任意に小さな近傍においても非ゼロの測度を保つ。
• 通常は分数階微積分を用いて導かれるべきべき則則波減衰が、分数微分を必要とせず、漸近的双対構造から自然に導かれることが示された。
• カントール集合上での微分可能性は、変形測度 dX(x) の下で通常微分と同等に機能するジャンプ微分 DJ を用いて定式化され、フラクタル上での一般化された微積分が可能になる。
• カントール階段関数 fc(X) は、0 の延長上でのスケール不変方程式 dfc(X)/dX = 1 を満たし、ハウスドルフ次元 s = log 2 / log 3 を有する。
• ジャンプ微分方程式 DJy = χC(x)f(x,y) は、フラクタル集合上でのみ変化する系をモデル化でき、動的挙動は正規化変数 X における通常の微分方程式と同等である。
• 変形測度 dX(x) を用いることで、フラクタル空間上でもリーマン＝スティルチェス積分が可能となり、不規則な集合への標準的積分理論の一般化が達成された。