[論文レビュー] Duality theorems for coinvariant subspaces of $H^1$

Roman Bessonov|arXiv (Cornell University)|Jan 2, 2014

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 15被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、Hardy空間 $H^1$ 内のコインvariant部分空間 $K_{\theta}^{1} \cap zH^{1}$ の双対空間に関する双対性定理を確立し、一成分内挿関数 $\theta$ のクラーク測度 $\sigma_{\alpha}$ に関する有界平均振動関数空間 $\mathrm{BMO}(\sigma_{\alpha})$ と等長的同型であることを示している。主な結果は $(K_{\theta}^{1} \cap zH^{1})^{*} = \mathrm{BMO}(\sigma_{\alpha})$ であり、これは有限ヒルベルト行列の二重ノルム推定に応用され、その記号の $\mathrm{BMO}(\mu_{2n})$-ノルムを用いて、$2n$ 乗単位根のハール測度 $\mu_{2n}$ に基づくものである。

ABSTRACT

Let $θ$ be an inner function satisfying the connected level set condition of B. Cohn, and let $K^{1}_θ$ be the shift-coinvariant subspace of the Hardy space $H^1$ generated by $θ$. We describe the dual space to $K^{1}_θ$ in terms of a bounded mean oscillation with respect to the Clark measure $σ_α$ of $θ$. Namely, we prove that $(K^{1}_θ \cap zH^1)^* = { m BMO}(σ_α)$. The result implies a two-sided estimate for the operator norm of a finite Hankel matrix of size $n imes n$ via ${ m BMO}(μ_{2n})$-norm of its standard symbol, where $μ_{2n}$ is the Haar measure on the group $\{ξ\in \mathbb{C}: ξ^{2n} = 1\}$.

研究の動機と目的

• Hardy空間 $H^1$ 内の一つの成分をもつ内挿関数 $\theta$ に対して、$K_{\theta}^{1} \cap zH^{1}$ の双対空間を特徴付けること。
• この双対空間と内挿関数 $\theta$ のクラーク測度 $\sigma_{\alpha}$ に関する $\mathrm{BMO}(\sigma_{\alpha})$ 空間との双対的同型を確立すること。
• この双対性を応用し、有限ヒルベルト行列の二重ノルム推定を、その標準記号の $\mathrm{BMO}(\mu_{2n})$-ノルムを用いて行うこと。
• 離散的測度 $\mu$ が一成分内挿関数のクラーク測度であるための、測度の原子とその分布に関する幾何学的および解析的条件を完全に特徴付けること。

提案手法

• 内挿関数 $\theta$ に関連するクラーク測度 $\sigma_{\alpha}$ の理論を用い、これは単位円板 $\mathbb{T}$ 上の特異測度であり、$\theta$ のカイリー変換の実部と関連している。
• 一成分内挿関数の特徴付けを、そのクラーク測度を用いて行い、測度 $\mu = \sigma_{\alpha}$ が離散的で、孤立した原子を持ち、各原子が原子集合内で二つの近隣を持つこと、かつ原子の質量が近隣までの距離に対して一様な下限および上限を持つことの条件を要求する。
• A. B. アレクサンドロフによる一成分内挿関数の特徴付け（$\theta$ の導関数に関連）と、原子集合上で定義された離散ヒルベルト変換 $H_\mu 1$ の有界性に依存した証明を採用する。
• 関数型の作用素が $K_{\theta}^{1} \cap zH^{1}$ 上に作用する様子を解析し、原子分解とノルム推定を用いて $\mathrm{BMO}(\sigma_{\alpha})$ と関連付けることで、双対性結果を導出する。
• 有限ヒルベルト作用素への応用として、$n \times n$ ヒルベルト行列の作用素ノルムを、その記号の $\mathrm{BMO}(\mu_{2n})$-ノルムと関連付ける。ここで $\mu_{2n}$ は $2n$ 乗単位根上の正規化されたハール測度である。
• 根の単位根の幾何構造と、このような離散集合上での離散ヒルベルト変換の挙動を分析することで、二重ノルム推定における定数の一様有界性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一成分内挿関数 $\theta$ に対して、$K_{\theta}^{1} \cap zH^{1}$ の双対空間は何か？
• RQ2 単位円板上に存在するどの特異測度が、一成分内挿関数のクラーク測度として現れるか？
• RQ3 有限ヒルベルト行列の作用素ノルムを、その記号の $\mathrm{BMO}$-ノルムを用いてどのように推定できるか？
• RQ4 離散測度 $\mu$ が一成分内挿関数のクラーク測度であるための条件は何か？
• RQ5 有限ヒルベルト作用素に対して、その記号の $\mathrm{BMO}(\mu_{2n})$-ノルムを用いた一様な二重ノルム推定は存在するか？

主な発見

• 一成分内挿関数 $\theta$ のクラーク測度 $\sigma_{\alpha}$ を用いて、$K_{\theta}^{1} \cap zH^{1}$ の双対空間は $\mathrm{BMO}(\sigma_{\alpha})$ と等長的同型であり、双対性 $(K_{\theta}^{1} \cap zH^{1})^{*} = \mathrm{BMO}(\sigma_{\alpha})$ が確立される。
• 離散測度 $\mu$ が一成分内挿関数のクラーク測度であるための必要十分条件は、$\mu$ が孤立した原子を持ち、各原子が原子集合内で二つの近隣を持つこと、台が全測度ゼロであること、および原子上で定義された離散ヒルベルト変換 $H_\mu 1$ が一様に有界であることである。
• $n \times n$ ヒルベルト行列 $A$ の記号 $\bar{z}^n \psi$ の $\mathrm{BMO}(\mu_{2n})$-ノルムが、作用素ノルム $\|A\|$ を二重推定する：$c_1 \|\bar{z}^n \psi\|_{\mu_{2n}^*} \leq \|A\| \leq c_2 \|\bar{z}^n \psi\|_{\mu_{2n}^*}$ であり、定数 $c_1, c_2$ は $n$ に依存しない絶対定数である。
• ノルム推定における定数 $c_1, c_2$ は一様に有界であり、$c_2 \leq 10^7 M$ を満たす絶対定数 $M$ が存在するため、任意の $n \geq 2$ に対して推定が有効である。
• 本稿は、古典的な $\mathrm{BMO}(\mathbb{T})$-基準による $H^2$ 上のヒルベルト作用素の有界性の証明を、双対性と $\mathrm{BMO}$ 内の弱*収束を用いて再考し、フェッファーマンの双対定理を必要としない。
• 結果として、$H^2$ 上のヒルベルト作用素が記号 $\varphi \in \overline{zH^2}$ に対して有界であることは、$\varphi \in \mathrm{BMO}(\mathbb{T})$ であることと同値であり、作用素ノルムは $\varphi$ の $\mathrm{BMO}$-ノルムと同値である。