[論文レビュー] Duality theory for Markov processes: Part 1

R. K. Getoor|arXiv (Cornell University)|Feb 11, 2010

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 15被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、固定された過剰測度に関してボレル右連続過程の双対性理論を確立し、右連続強マルコフ過程の古典的双対性を超えて、左連続で中程度のマルコフ双対過程を構成する。主な貢献は、測度論的技術の洗練とメイエルの完備化定理を用いて、m-例外的集合に質量を割り当てないσ-有限測度と、オプション型共予測的同次確率測度の間の対応関係を証明することにある。

ABSTRACT

This is the first part of a possible monograph on the duality of Markov processes. It contains a proof of Fitzsimmons' existence theorem of a moderate Markov dual process relative to an excessive measure, m, together with the necessary preliminary material. Then this is applied to prove the correspondence between optional copredictable homogenous random measures and sigma finite measures not charging m-exceptional sets again following Fitzsimmons. The second part which may never be written would deal with duality proper including results from, but not limited to, my joint paper with P. J. Fitzsimmons"Potential Theory of Moderate Markov Dual Processes" which appeared in Potential Anal.(2009) 31:275-310. Complete proofs of all results not appearing in standard books are given with the one exception of Dellacherie's result characterizing semipolar sets.

研究の動機と目的

• 最小限の仮定の下でボレル右連続過程に対する一般双対性理論を構築し、標準的な強マルコフ過程の枠組みを超えて拡張すること。
• 右連続で強マルコフではない双対過程 $\hat{X}$ を、左連続で中程度のマルコフ過程として構成すること。
• m-例外的集合に質量を割り当てない状態空間上のσ-有限測度と、オプション型共予測的同次確率測度の間の対応関係を確立すること。
• 過剰測度 $m$ が有限でない場合に生じる技術的測度論的課題、特に射影の定義や時間反転の取り扱いを解決すること。
• 特に、コ予測的およびオプション射影の存在に関する基礎的結果を、デラシェリ＝メイエルおよびメイエルの一般確率過程理論の高度な道具を用いて、完全で自己完結的な証明を提供すること。

提案手法

• ボレル右連続過程 $ X $ と過剰測度 $ m $ に関連するクズネツォフ過程 $ (Y, Q_m) $ を用い、最大拡張 $ Y^* $ を用いて、出生時刻 $ \alpha $ における強マルコフ性を拡張する。
• オプション型および共予測的過程の一般理論を適用し、$ Q_m $ が有限でない場合であっても、オプション射影および共予測的射影を定義・構成する。
• 時間反転技術を用いて、予測的射影から共予測的射影を導出し、双対過程構成との整合性を保証する。
• メイエルの完備化定理 [M74]（定理 5.27として提示）を用い、オプション型共予測的同次確率測度の「非常に良い」バージョンを構成する。
• ファビニ型の議論および加法的関数への経路的解析を用いて、特に加法的関数 $ A $ とその変種 $ L $ が $ P^m $ の下で区別不能であることを証明する。
• 基礎的測度論的結果についてはデラシェリ＝メイエル [DM] および ゲトゥアール [G] の正確な参照に依拠し、出生時刻への最大拡張など、非標準的な状況におけるオリジナルの証明を提供する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 固定された過剰測度 $ m $ に対して、双対過程が右連続でも強マルコフでもない場合でも、ボレル右連続過程の双対性理論を構築できるか？
• RQ2 特に $ Q_m $ が有限でない場合に、$ Q_m $ の下でオプション型および共予測的射影をどのように構成できるか？
• RQ3 オプション型共予測的同次確率測度と、$ m $-例外的集合に質量を割り当てない状態空間上のσ-有限測度との間の正確な対応関係は何か？
• RQ4 一般仮定の下で、同次確率測度の「非常に良い」バージョンの存在をどのように保証できるか？また、メイエルの完備化定理はこの点で果たす役割は何か？
• RQ5 強マルコフ性を出生時刻 $ \alpha $ にどのように拡張できるか？また、なぜ最大拡張 $ Y^* $ が双対性構成において不可欠なのか？

主な発見

• 双対過程 $ \hat{X} $ が存在し、それは左連続で中程度のマルコフ過程である。これは、古典的双対性における右連続で強マルコフな双対とは異なる。
• クズネツォフ過程 $ (Y, Q_m) $ は最大拡張 $ Y^* $ を持ち、出生時刻 $ \alpha $ においても強マルコフ性を保つ。これは双対性構成にとって不可欠である。
• $ Q_m $ が有限でない場合であっても、時間反転と予測的射影の注意深い構成を用いることで、オプション型および共予測的射影が存在する。
• 基本的な対応関係が確立された：任意のオプション型共予測的同次確率測度は、$ m $-例外的集合に質量を割り当てない一意のσ-有限測度から生じる。
• メイエルの完備化定理（定理 5.27）を用いた洗練された応用により、同次確率測度の「非常に良い」バージョンの存在が証明された。これにより、加法的関数の正規バージョンが保証される。
• 加法的関数 $ A $ が、$ \tilde{A} $、$ U $、$ H $ を用いた構成を通じて、定理 5.28 で要求される性質を満たす過程 $ L $ と区別不能であることが示された。特に、$ P^m $ の下で $ U = V $ 出来である。