[論文レビュー] Duality via cycle complexes

Thomas Geisser|ArXiv.org|Aug 18, 2006

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 19被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、完全体、有限体、混合特徴標数の局所体、および数体の整数環上で、分離的で有限型のスキーム上の捩れエタール層に対して、Blochの相対零サイクル複体を双対化複体として用いることにより、双対性定理を確立する。主な結果は、$ R\text{Hom}_X(\text{F}, \bbZ^c_X) \to R\text{Hom}_Y(Rf_!F, \bbZ^c_Y) $ という準同型であり、これは $p$-進および $\bar{\bbQ}_l$-進の双対性を統一し、ノーマルでプロジェクティブなスキームへのロイトマンの定理の一般化を実現する。

ABSTRACT

We show that Bloch's complex of relative zero-cycles can be used as a dualizing complex over perfect fields and number rings. This leads to duality theorems for torsion sheaves on arbitrary separated schemes of finite type over algebraically closed fields, finite fields, local fields of mixed characteristic, and rings of integers in number rings, generalizing results which so far have only been known for smooth schemes or in low dimensions, and unify the p-adic and l-adic theory. As an application, we generalize Rojtman's theorem to normal, projective schemes.

研究の動機と目的

• 滑らかでないスキームや低次元を超えた捩れエタール層の双対性定理の拡張。
• 同一の双対化複体を用いて、$p$-進および $\bar{\bbQ}_l$-進双対性理論を統一する。
• 零サイクルのアーベル化写像に関するロイトマンの定理を、ノーマルでプロジェクティブなスキームへ一般化する。
• 数体の整数環や混合特徴標数の局所体上での双対性を確立する。
• チャウ群の零サイクルを用いたアーベル多様体のホモロジー的枠組みを提供する。

提案手法

• 完全体および特徴標数0のデデキンド環上で、Blochの相対零サイクル複体 $ \bbZ^c_X $ を双対化複体として用いる。
• 準同型 $ R\text{Hom}_X(\text{F}, \bbZ^c_X) \to R\text{Hom}_Y(Rf_!F, \bbZ^c_Y) $ を適用し、準同型により双対性を導出する。
• 閉埋め込みにおける $ \bbZ^c_X $ の純粋性およびホモトピー不変性 $ p_*\bbZ^c_{X\times\bbA^r}(n) \to \bbZ^c_X(n-r)[2r] $ を用いる。
• Zariskiおよびエタールコホモロジーの関係を $ \bbZ^c_X/m(n) $ に対してBeilinson-Lichtenbaum予想に依拠する。
• コホモロジーの計算に、スペクトル系列 $ E^{1}_{s,t} = \bigoplus_{x\to X^{(s)}} H^{s-t}(k(x), \bbZ(s-n)) \to H_{s+t}(X, \bbZ^c(n)) $ を適用する。
• 数環および局所体上での完全ペアリングを導出するために、Artin-Verdier双対性およびコンパクト台付きコホモロジーを用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Blochの零サイクル複体は、非滑らかスキーム上でも双対性定理の双対化複体として機能するか？
• RQ2 捩れ層に対して、$p$-進および $\bar{\bbQ}_l$-進双対性を統一するフレームワークはどのように構築できるか？
• RQ3 代数閉体上でのノーマルでプロジェクティブなスキームに対して、ロイトマンの定理（アーベル化写像に関する）は拡張可能か？
• RQ4 数体の整数環上でのスキームに対して、$ \bbZ^c_X $ は双対性において果たす役割は何か？
• RQ5 混合特徴標数において、双対化複体 $ \bbZ^c_X $ は基底変換およびコンパクト台付きコホモロジーに関してどのように振る舞うか？

主な発見

• 完全体 $ k $ 上の分離的で有限型のスキーム $ f:X\to Y $ に対して、準同型 $ R\text{Hom}_X(\text{F}, \bbZ^c_X) \to R\text{Hom}_Y(Rf_!F, \bbZ^c_Y) $ が存在し、双対性を確立する。
• 代数閉体上では、コンストラクティブルな $ \text{F} $ に対して、完全ペアリング $ \text{Ext}^{1-i}_X(\text{F}, \bbZ^c_X) \times H^i_c(X_{\text{et}}, \text{F}) \to \bbQ/\bbZ $ が成り立つ。さらに、$ CH_0(X,i,\bbZ/m) \to H^i_c(X_{\text{et}}, \bbZ/m)^* $ は同型である。
• アーベル化基本群は $ \bar{\bbpi}_1^{ab}(X)^0 \to CH_0(\bar{X},1)^{\text{hat}}_G $ を満たし、短完全列 $ 0 \to CH_0(\bar{X},1)^{\text{hat}}_G \to \bar{\bbpi}_1^{ab}(X)^0 \to CH_0(\bar{X})^G \to 0 $ が存在する。
• 有限体上では、$ \text{Ext}^{2-i}_X(\text{F}, \bbZ^c_X) \times H^i_c(X_{\text{et}}, \text{F}) \to \bbQ/\bbZ $ という完全ペアリングが確立され、Deninger, Spieß, および Moser の結果を一般化する。
• 特徴標数0のデデキンド環で、完全な残渣体を持つものに対して、Beilinson-Lichtenbaum予想を仮定すると、同様の双対性 $ R\text{Hom}_X(\text{F}, \bbZ^c_X) \to R\text{Hom}_S(Rf_!F, \bbZ^c_S) $ が成り立つ。
• 数体の整数環上では、Artin-Verdier双対性を用いて、$ \text{Ext}^{2-i}_X(\text{F}, \bbZ^c_X) \times H^i_c(X_{\text{et}}, \text{F}) \to \bbQ/\bbZ $ という完全ペアリングが得られ、MilneおよびSpießの結果を一般化する。