[論文レビュー] Duals and adjoints in higher Morita categories

Owen Gwilliam, Claudia Scheimbauer|arXiv (Cornell University)|Apr 29, 2018

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 5被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、対称的モノイダル $(\infty,N)$-圏 $\mathcal{S}$ 内の $E_n$-代数対象の高次モラータ圏 $\operatorname{Alg}_n(\mathcal{S})$ が完全に $n$-双対的であることを確立し、ルリーの予想を検証する。要因分解代数を幾何的枠組みとして用い、任意の対象が反対代数構成により双対をもつこと、および有限生成性と射影性の条件のもとで $k$-射が随伴をもつことを証明する。これにより、完全に拡張されたトポロジカル量子場理論への応用が得られる。

ABSTRACT

We study duals for objects and adjoints for $k$-morphisms in $\operatorname{Alg}_n(\mathcal{S})$, an $(\infty,n+N)$-category that models a higher Morita category for $E_n$ algebra objects in a symmetric monoidal $(\infty,N)$-category $\mathcal{S}$. Our model of $\operatorname{Alg}(\mathcal{S})$ uses the geometrically convenient framework of factorization algebras. The main result is that $\operatorname{Alg}_n(\mathcal{S})$ is fully $n$-dualizable, verifying a conjecture of Lurie. Moreover, we unpack the consequences for a natural class of fully extended topological field theories and explore $(n+1)$-dualizability.

研究の動機と目的

• 対称的モノイダル $(\infty,N)$-圏 $\mathcal{S}$ 内の $E_n$-代数対象の高次モラータ圏 $\operatorname{Alg}_n(\mathcal{S})$ が完全に $n$-双対的であることを確立し、ルリーの予想を検証すること。
• 高次圏への一般化として、$\operatorname{Alg}_n(\mathcal{S})$ 内の $k$-射が左および右随伴をもつ条件を同定すること。
• $n$-双対的性が完全に拡張されたトポロジカル量子場理論に与える影響を明らかにすること。
• $\operatorname{Alg}_n(\mathcal{S})$ 内での $(n+1)$-双対的性の妨げとなっている微妙な要因、特に構造上のポイント構造の影響を明確にすること。

提案手法

• 著者たちは、高次モラータ圏のための幾何的かつ計算可能なかかる枠組みを提供するため、$\operatorname{Alg}_n(\mathcal{S})$ を要因分解代数を用いてモデル化する。
• 任意の $\mathcal{S}$ 内の $E_n$-代数 $A$ がその反対代数 $A^{\mathrm{op}}$ により双対をもつことを証明し、評価写像およびコ評価写像を双モジュール構造を用いて構成する。
• $k$-射に関しては、随伴の存在が、出発および終着代数上の有限生成性と射影性に依存することを示し、古典的モラータ理論を高次圏に一般化する。
• $n$-双対的性の証明は、すべての（コ）評価写像およびそれらの随伴が存在することを検証することに依拠し、同値の2つ取り出し性および同値を検出する忘却関手を用いる。
• $\operatorname{Alg}_n(\mathcal{S})$ 上の対称的モノイダル構造は、$\otimes$-スィフトコメプレートおよび $n+N$-重シミプレクシャル空間上のセガル条件を用いて構成される。
• $(n+1)$-双対的性の障害は、$n$-圏内のポイント構造の役割を通じて分析され、それらが $n$ 以上のレベルでの完全な双対的性の実現を妨げることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高次モラータ圏 $\operatorname{Alg}_n(\mathcal{S})$ は、ルリーの予想に従い完全に $n$-双対的か？
• RQ2 $\operatorname{Alg}_n(\mathcal{S})$ 内の $k$-射が左および右随伴をもつ条件は何か？ それらに対応する双モジュールの代数的条件は何か？
• RQ3 ポイント構造は、$\operatorname{Alg}_n(\mathcal{S})$ 内での $(n+1)$-双対的性を妨げる役割を果たすか？
• RQ4 要因分解代数による $\operatorname{Alg}_n(\mathcal{S})$ のモデル化は、高次圏における双対および随伴の構成をどのように容易にするか？
• RQ5 $n$-双対的性は完全に拡張されたトポロジカル量子場理論にどのような意味を持つのか？

主な発見

• $\operatorname{Alg}_n(\mathcal{S})$ は完全に $n$-双対的であり、任意の $E_n$-代数がその反対代数により双対をもつというルリーの予想が確認された。
• $\operatorname{Alg}_n(\mathcal{S})$ 内の任意の $k$-射 $M$ について、$M$ がその出発代数上で有限生成かつ射影的であるときかつそのときに限り、右随伴が存在する。
• 双対対 $(A, A^{\mathrm{op}})$ の評価およびコ評価写像は、2つ取り出し性および同値を検出する忘却関手を用いて可逆であることが示された。
• 随伴の単位および余単位写像は、元の圏における同値に還元し、ポイント構造を用いることで同値であることが証明された。
• $\operatorname{Alg}_n(\mathcal{S})$ 上の対称的モノイダル構造は、$n+N$-重セガル空間およびファイバー積の保存性を用いて構成され、高次圏の枠組みと整合性を持つ。
• 構造上のポイントが $(n+1)$-双対的性を妨げており、$n$ を超えるレベルでの高次随伴の存在を阻害している。これは $n$-圏における根本的な障害を示している。