[論文レビュー] Duals and thinnings of some relatives of the contact process

Jan M. Swart|ArXiv.org|Apr 14, 2006

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 7被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、接触プロセスとボルダー・モデルのダイナミクスを組み合わせた接触ボルダー過程——相互作用粒子系——の双対性およびスプライシング関係を、Lloyd-Sudbury双対性理論を拡張することで確立する。これらのモデルが自己双対であり、消滅、分岐、融合、死を伴うランダムウォーク系と双対であることを示し、離散モデルの局所平均場極限を経て、相互作用するSDEsに関する類似した双対性およびスプライシング関係を導出する。

ABSTRACT

This paper considers contact processes with additional voter model dynamics. For such models, results of Lloyd and Sudbury can be applied to find a self-duality, as well as dualities and thinning relations with systems of random walks with annihilation, branching, coalescence, and deaths. We show that similar relations, which are known from the literature for certain interacting SDE's, can be derived as local mean field limits of the relations of Lloyd and Sudbury.

研究の動機と目的

• 接触プロセスとボルダー・モデルのダイナミクスを併せ持つ接触ボルダー過程に、Lloyd-Sudbury双対性理論を拡張すること。
• 接触ボルダー過程が自己双対であり、消滅、分岐、融合、死を伴うランダムウォーク系と双対であることを確立すること。
• 離散的接触ボルダー過程の局所平均場極限をとることで、相互作用するSDEsに関する双対性、スプライシング、およびポisson化関係を導出すること。
• ステッピング・ストーンモデルやスーパーランダムウォークのような既知の双対性が、離散的Lloyd-Sudbury関係の極限として現れることを示すこと。

提案手法

• マコフ過程の間の双対性を確立するために、$\psi_{\eta}(x,y) = \prod_{i \in \Lambda} \eta^{x(i)y(i)}$ の形をした双対関数（$\eta \in \mathbb{R} \setminus \{1\}$）を用いる。
• Lloyd-Sudbury理論を、消滅、分岐、融合、死、排除のパラメータ $a,b,c,d,e$ を含む生成子 (2.2) を持つ接触ボルダー・モデルに適用する。
• 二つのモデルが異なる $\eta$ に対して同じ系と双対である場合、一方が他方のスプライシング（スプライシング）であることを示すことによって、スプライシング関係を導出する。
• 空間と時間をスケーリングすることで、接触ボルダー過程の局所平均場極限を構築し、ドリフト、拡散、ジャンプ成分を含む相互作用SDEsを導出する。
• マーティングル問題の収束を用いて、スケーリングされた過程が極限SDEsに弱収束することを正当化する。
• ポisson化技術を用いて、極限において離散的・連続的時間過程との関係を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 接触プロセスとボルダー・ダイナミクスを併せ持つ接触ボルダー過程に、Lloyd-Sudbury双対性およびスプライシング関係を拡張できるか？
• RQ2 接触ボルダー過程は自己双対であるか？ もしそうであれば、どのクラスのランダムウォーク系と双対であるか？
• RQ3 集団動力学における相互作用SDEsの双対性およびスプライシング関係は、離散的接触ボルダー過程の局所平均場極限として現れるか？
• RQ4 平均場スケーリングの下で、双対関数およびパラメータは離散的系から連続的系へどのように変換されるか？
• RQ5 スケーリングされた接触ボルダー過程の極限生成子は何か？ また、ステッピング・ストーンモデルやスーパーランダムウォークのような既知のSDEsとどのように関係するか？

主な発見

• パラメータ $a,b,c,d,e$ を持つ接触ボルダー過程は、双対関数 $\psi_{\eta}(x,y) = \prod_{i \in \Lambda} \eta^{x(i)y(i)}$ を用いて自己双対であり、消滅、分岐、融合、死を伴うランダムウォーク系と双対である。
• Lloyd-Sudburyフレームワークにおける双対パラメータ依存性により、ランダムウォーク系は互いにスプライシングの関係にあり、接触ボルダー・モデルに対しても同様の関係が成り立つ。
• 選択と変異を伴うステッピング・ストーンモデルは、接触ボルダー過程の局所平均場極限として現れ、極限SDEの生成子 (B.4) はドリフト、拡散、および2次殺滅項を含む。
• 2次殺滅項を伴うスーパーランダムウォークは、接触ボルダー過程の局所平均場極限として現れ、極限生成子 (B.12) には移動、ドリフト、拡散、および2次ドリフト項が含まれる。
• スケーリング過程 $\overline{X}^{(N)}$ および $\overline{Y}^{(N)}$ がマーティングル問題の収束およびモーメント計算を用いて極限SDEsに収束することを確立した。
• 極限SDEsは離散モデルから引き継いだ双対性およびスプライシング性質を保ち、これらの関係が平均場スケーリング下でも保存されることを確認した。