[論文レビュー] Duals of Hardy-amalgam spaces $\mathcal{H}_{\mathrm{loc}}^{(q,p)}$ and Pseudo-differential operators

Zobo Vincent de Paul Ablé, Justin Feuto|arXiv (Cornell University)|Mar 9, 2018

Advanced Harmonic Analysis Research被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、$0 < q \leq 1$ および $q \leq p < \infty$ の場合に、局所的ハードィ・アンビグラム空間 $\mathcal{H}_{\mathrm{loc}}^{(q,p)}$ のアトムおよび分子分解を確立し、$0 < q \leq p \leq 1$ の場合にその双対空間を特徴づけ、$\mathcal{S}^0$ 仮想微分作用素がこれらの空間上で有界であることを証明し、古典的な局所的ハードィ空間からの結果をアンビグラム設定へと拡張する。

ABSTRACT

In this paper, we carry on with the study of the Hardy-Amalgam spaces $\mathcal{H}_{\mathrm{loc}}^{(q,p)}$ spaces introduced in \cite{AbFt}. We investigate their dual spaces and establish some results of boundedness of pseudo-differential operators in these spaces.

研究の動機と目的

• 古典的な局所的ハードィ空間 $\mathcal{H}_{\mathrm{loc}}^q$ からの双対性および有界性の結果を、より一般的なハードィ・アンビグラム空間 $\mathcal{H}_{\mathrm{loc}}^{(q,p)}$ へと拡張すること。
• $0 < q \leq 1$ および $q \leq p < \infty$ の場合に、$\mathcal{H}_{\mathrm{loc}}^{(q,p)}$ に対してアトムおよび分子分解を確立し、$\mathcal{H}^{(q,p)}$ に関する先行研究を一般化すること。
• $0 < q \leq p \leq 1$ の場合に、$\mathcal{H}_{\mathrm{loc}}^{(q,p)}$ の双対空間を特徴づけ、双対性理論を局所的アンビグラム設定へと拡張すること。
• $\mathcal{S}^0$ 仮想微分作用素が $\mathcal{H}_{\mathrm{loc}}^{(q,p)}$ 空間上で有界であるかどうかを調査し、シュワーツ関数による乗算に対する安定性結果を提供すること。

提案手法

• 局所化された maximal 関数および dyadic 立方体を用いて、$\mathcal{H}_{\mathrm{loc}}^{(q,p)}$ のアトムおよび分子分解を導出する。古典的ハードィ空間理論からの技法を適応する。
• 全スケールの maximal 関数がグローバルハードィ空間で用いられるのとは異なり、$0 < t \leq 1$ の拡大 $\varphi_t$ を用いて定義される局所化 maximal 関数 $\mathcal{M}_{\mathrm{loc}}(f)$ を採用する。
• ウィーナー・アンビグラムノルム $\|f\|_{(L^q, \ell^p)} = \left\| \left\| f \chi_{Q_k} \right\|_{L^q} \right\|_{\ell^p}$ を用いて、ハードィ・アンビグラム空間の構造を定義する。
• $\mathcal{S}^0$ 仮想微分作用素の理論を用い、記号クラスおよび随伴作用素に依拠して、$\mathcal{H}_{\mathrm{loc}}^{(q,p)}$ 上での有界性を証明する。
• 補間および maximal 関数の推定、特に分数階 maximal 関数 $\mathfrak{M}(\chi_{Q^n})^\vartheta$ を含む推定を用いて、作用素ノルムを制御する。
• ペアリング $\langle f, g \rangle = \int f \bar{g} \, dx$ を用いた双対性を適用し、$\mathcal{S}^0$ の随伴作用素において $T^*g = T_{\psi^*}g$ が成り立つことを利用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $0 < q \leq 1$ および $q \leq p < \infty$ の場合に、局所的ハードィ・アンビグラム空間 $\mathcal{H}_{\mathrm{loc}}^{(q,p)}$ のアトムおよび分子分解構造は何か？
• RQ2 $0 < q \leq p \leq 1$ の場合に、$\mathcal{H}_{\mathrm{loc}}^{(q,p)}$ の双対空間はどのように特徴づけられるか？
• RQ3 $0 < q \leq 1$ および $q \leq p < \infty$ の場合に、$\mathcal{S}^0$ 仮想微分作用素が $\mathcal{H}_{\mathrm{loc}}^{(q,p)}$ 上で有界であるための条件は何か？
• RQ4 シュワーツ関数による乗算は、$0 < q \leq 1$ および $q \leq p < \infty$ の場合に、$\mathcal{H}_{\mathrm{loc}}^{(q,p)}$ に属する関数の属性を保存するか？

主な発見

• $0 < q \leq 1$ および $q \leq p < \infty$ の場合に、$\mathcal{H}_{\mathrm{loc}}^{(q,p)}$ はアトム分解を有する。アトムは dyadic 立方体上に台を持ち、キャンセレーションおよびサイズの条件を満たす。
• $0 < q \leq p \leq 1$ の場合に、$\mathcal{H}_{\mathrm{loc}}^{(q,p)}$ の双対空間は $\mathcal{L}_{r', \phi_1, \delta}^{\mathrm{loc}}$ として特定され、$\delta \geq \lfloor d(1/q - 1) \rfloor$ を満たす。これは、双対性結果が局所的アンビグラム設定へと拡張されることを示す。
• $0 < q \leq 1$ および $q \leq p < \infty$ の場合に、すべての $\mathcal{S}^0$ 仮想微分作用素は $\mathcal{H}_{\mathrm{loc}}^{(q,p)}$ 上で有界である。これは、$\mathfrak{M}(\chi_{Q^n})^\vartheta$ を含む作用素ノルム推定によって示される。
• すべての $f \in \mathcal{H}_{\mathrm{loc}}^{(q,p)}$ および $\phi \in \mathcal{S}$ に対して、積 $\phi f$ は適切に定義され、$\mathcal{H}_{\mathrm{loc}}^{(q,p)}$ に属する。これは、仮想微分作用素としての乗算作用素の有界性のおかげである。
• $\mathcal{L}_{r', \phi_1, \delta}^{\mathrm{loc}}$ に属する $f$ に対して、$T$ の有界性は $\|T(f)\|_{\mathcal{L}_{r', \phi_1, \delta}^{\mathrm{loc}}} \leq C \|f\|_{\mathcal{L}_{r', \phi_1, \delta}^{\mathrm{loc}}}$ で定量的に表され、$C$ は $f$ に依存しない。