[論文レビュー] Duffin-Kemmer-Petiau formalism reexamined: non-relativistic approximation for spin 0 and spin 1 particles in a Riemannian space-time

A. A. Bogush, V. V. Kisel+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 7, 2007

Quantum Mechanics and Applications被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、曲がったリーマン空間時空におけるDuffin-Kemmer-Petiau (DKP)形式を再検討し、tetrad形式を用いてスピン-0およびスピン-1粒子の非相対論的近似を導出する。非相対論的波動関数が、実数の相対論的波動関数から出発しても本質的に複素数値をとることを示し、スカラー曲率 $ R(x) $ への明示的な結合を含む一般化されたシュレーディンガー方程式を導出する。$ R(x) \neq 0 $ のとき、標準形式とは異なる。主な貢献は、スカラー粒子およびベクトル粒子の両方において、非相対論的極限での非最小的曲率結合の組み込みである。

ABSTRACT

It is shown that the generally covariant Duffin-Kemmer-Petiau equation, formulated in the frame of the Tetrode-Weyl-Fock-Ivanenko tetrad formalism, allows for a non-relativistic approximation if the metric tensor is of a special form. The Pauli equation for a vector particle involves the Riemann curvature tensor explicitly. In analogous way, the procedure of the non-relativistic approximation in the theory of scalar particle, charged and neutral, is investigated in the background of Riemannian space-time. A generalized covariant Schrodinger equation is derived when taking into account non-minimal interaction term through scalar curvature R(x), it substantially differs from the conventional generally covariant Schrodinger equation produced when R(x)=0. It is demonstrated that the the non-relativistic wave function is always complex-valued irrespective of the type of relativistic scalar particle, charged or neutral, taken initially. The theory of vector particle proves the same property: even if the wave function of the relativistic particle of spin 1 is taken real,the corresponding wave function in the non-relativistic approximation is complex-valued.

研究の動機と目的

• 一般共変な曲がった空間時空へのDuffin-Kemmer-Petiau形式の拡張を、tetrad (vierbein) 形式を用いて行う。
• スカラー曲率 $ R(x) $ がゼロでないリーマン的背景におけるスピン-0およびスピン-1粒子の非相対論的近似を導出する。
• スカラー曲率 $ R(x) $ への非最小的結合が、標準シュレーディンガー方程式と比較して非相対論的力学にどのように影響するかを調査する。
• 非相対論的波動関数の性質、特に相対論的波動関数が実数であっても、その複素数値性の本質を明確にする。

提案手法

• 一般共変なDKP方程式は、Tetrode-Weyl-Fock-Ivanenko の tetrad フレームワークに基づく。共変微分はスピン接続 $ B_{\alpha}(x) $ を用いて定義される。
• 非相対論的極限は、時間成分の分離とゆっくりとした運動の仮定により導出され、大きな成分 $ \Psi $ に対してシュレーディンガー型方程式が得られる。
• 導出には、$ \hbar^2 R(x)/(12m^2c^2) $ に比例する非最小相互作用項が含まれ、標準シュレーディンガーハミルトニアンを修正する。
• 非相対論的極限における波動関数 $ \Psi $ は、元のDKP成分の線形結合であり、時間微分項 $ \Phi_0 = i\hbar/mc \, \partial_0\Phi $ を含む。この項が虚数部を導入する。
• 電磁気的結合は、ベクトルポテンシャル $ A_\mu $ への最小結合を介して、荷電粒子および中性粒子の両方に適用可能である。
• 解析により、非相対論的波動関数は、相対論的DKPスピンネルの初期状態が実数であっても、常に複素数値をとることが確認される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 曲がった空間時空におけるDuffin-Kemmer-Petiau形式は、スピン-0粒子に対して一貫した非相対論的近似をどのように得るか？
• RQ2 スカラー曲率 $ R(x) $ がゼロでないとき、スカラー粒子の非相対論的シュレーディンガー方程式の形は何か？
• RQ3 中性粒子において、相対論的DKP波動関数が実数であっても、なぜ非相対論的波動関数は複素数値をとるのか？
• RQ4 $ R(x) $ への非最小的結合の組み込みが、非相対論的極限における有効ハミルトニアンにどのように影響するか？
• RQ5 tetrad形式は、一般共変性を保ち、異なる局所ローレンツフレーム間で一貫性を保つために果たす役割は何か？

主な発見

• スピン-0粒子のDKP方程式の非相対論的近似は、$ \hbar^2 R(x)/(6m^2c^2) $ に比例する非最小的結合項を明示的に含む一般化されたシュレーディンガー方程式を導く。この項は運動エネルギー項を修正する。
• $ R(x) \neq 0 $ のとき、標準的一般共変形式（$ R(x) = 0 $ を仮定）とは大きく異なる。これは曲率依存補正によるものである。
• 実数の相対論的波動関数 $ \Phi $ を持つ中性スカラー粒子に対しても、非相対論的波動関数 $ \Psi $ は複素数値をとる。これは $ \Phi_0 = i\hbar/mc \, \partial_0\Phi $ 項が虚数的であるためである。
• スピン-1粒子に対しても、非相対論的波動関数は複素数値をとる。これは、DKP方程式から導出される非相対論的極限の構造による。
• 非相対論的波動関数 $ \Psi $ は、元のDKP成分 $ \Phi $ と一致しない。$ \Psi = \Phi + \Phi_0 $ で表されるように、$ \Phi $ とその時間微分を含む組み合わせである。
• 導出された式 (207) は、時間発展演算子が $ 1 + \frac{1}{24} \frac{\hbar^2 R(x)}{m^2 c^2} $ の要因によって修正されていることを明示しており、エネルギー-時間関係が曲率に依存することを示している。