[論文レビュー] Duistermaat-Heckman formula for a torus action on a generalized Calabi-Yau manifold and localization formula

Yasufumi Nitta|ArXiv.org|Feb 9, 2007

Advanced Algebra and Geometry参考文献 6被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、一般化されたCalabi-Yau多様体上のトーラス作用におけるDuistermaat-Heckman密度関数が、次数が高々 $ n - k - l $ のスプライン多項式であることを確立し、Atiyah-Bott-Berline-Vergne定理を用いて振動積分の局在化公式を証明している。これらの結果は、等変コホモロジー的手法を用いて、古典的Duistermaat-Heckman定理を一般化されたCalabi-Yau幾何に拡張するものである。

ABSTRACT

This note is an addendum to our earlier work \cite{humi}. In \cite{humi}, we studied a Hamiltonian action for a generalized Calabi-Yau manifold and showed that the Duistermaat-Heckman theorem holds. The purpose of this note is to show that the density function of the Duistermaa-Heckman measure is a piecewise polynomial. We also prove that the localization formula holds.

研究の動機と目的

• 一般化されたCalabi-Yau多様体上のトーラス作用におけるDuistermaat-Heckman密度関数がスプライン多項式であることを証明すること。
• 定数型 $ k $ の一般化されたCalabi-Yau構造へのDuistermaat-Heckman定理の拡張。
• コンパクトな多様体の場合、一般化されたミラーマップを含む振動積分の局在化公式を確立すること。
• 特にAtiyah-Bott-Berline-Vergne定理を用いた、等変コホモロジー的手法を一般化されたCalabi-Yau幾何に適用すること。

提案手法

• 等変コホモロジーのCartanモデルを用い、$ M/T $ 上の閉形式 $ e^{2\tilde{i}\psi_i\theta^i} \wedge \nu \wedge \sigma(\bar{\nu}) $ を分析する。ここで $ \nu $ は一般化されたCalabi-Yau構造 $ \varphi $ の水平成分である。
• この形式のコホモロジー類が還元空間 $ M_a $ に引き戻され、Poincaré双対性により体積 $ \mathrm{vol}(M_a) $ の計算が可能になることを利用している。
• 等変閉形式 $ e^{\tilde{i}\mu}\varphi'\wedge\sigma(\bar{\varphi}') $ にAtiyah-Bott-Berline-Vergne局在化定理を適用し、振動積分を計算する。ここで $ \varphi' $ は $ \varphi $ のスケーリング版である。
• 固定点成分 $ X \subset M^T $ を用いて、局在化公式を表現し、正規バンドルの等変エULER類 $ e(NX)(\xi) $ と形式 $ \varphi \wedge \sigma(\bar{\varphi}) $ の $ X $ への引き戻しを用いる。
• 固定ホモロジー類 $ [M_{a_0}] $ と $ e^{-2\tilde{i}a_i[\theta^i]} \wedge c $ を含むコホモロジー類とのペアリングとして得られることが示され、$ f(a) $ が $ a $ に関して多項式的であることが確認される。
• トーラス作用の正規性と有効性により、正則なレベル集合がコンパクトであり、還元空間 $ M_a $ が適切に定義されることを保証し、$ M_a $ 上での積分が可能になる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 トーラス作用が一般化されたCalabi-Yau多様体に作用する場合、Duistermaat-Heckman密度関数はスプライン多項式か？
• RQ2 多様体の次元 $ n $、一般化されたCalabi-Yau型 $ k $、トーラスランク $ l $ を用いて、密度関数の多項式の次数は何か？
• RQ3 Hamiltonianトーラス作用を伴う一般化されたCalabi-Yau多様体上での振動積分に対して、Atiyah-Bott-Berline-Vergne局在化定理を拡張できるか？
• RQ4 商空間 $ M/T $ の等変コホモロジーは、還元空間 $ M_a $ の体積とどのように関係するか？

主な発見

• 一般化されたミラーマップの正則値の各連結成分上で、Duistermaat-Heckman密度関数 $ f(a) = \mathrm{vol}(M_a) $ は、次数が高々 $ n - k - l $ のスプライン多項式である。
• 還元空間 $ M_a $ の体積は、固定ホモロジー類 $ [M_{a_0}] $ と $ e^{-2\tilde{i}a_i[\theta^i]} \wedge c $ を含むコホモロジー類とのペアリングとして計算され、これは $ a $ に関して多項式的であるため、$ f $ の多項式的性質が裏付けられる。
• コンパクトな $ M $ に対して、振動積分 $ \int_M e^{\tilde{i}\mu^\xi} dm $ は固定点集合 $ M^T $ に局在化され、その公式は $ M^T $ の連結成分 $ X $ における和で表される。
• 局在化公式は $ \sum_X \frac{1}{2^{\dim X - l}} \int_X \frac{e^{i_X^*\mu^\xi} i_X^*(\varphi \wedge \sigma(\bar{\varphi}))}{e(NX)(\xi)} $ として表され、$ \xi \in \mathfrak{t} $ で $ \beta_j(\xi) \neq 0 $ である場合に有効である。
• 結果として、一般化されたCalabi-Yau構造が、Duistermaat-Heckman定理および局在化技法を一般化された複素幾何に自然に拡張可能であることが確認された。
• 証明は、$ M_{a_0} $ と $ M_a $ が $ H_{2(n-l)}(M/T, \mathbb{Z}) $ 内で同じホモロジー類を表すことに依拠しており、これにより $ a $ に関する多項式的依存性が保証される。