[論文レビュー] Duistermaat-Heckman measures in a non-compact setting

Elisa Prato, Siye Wu|ArXiv.org|Jul 21, 1993

Advanced Algebra and Geometry被引用数 43

ひとこと要約

本稿は、作用の一部がproperかつ下から有界である非コンパクトなシンプレクティックな設定において、Duis termaat-Heckman型の公式を確立する。アーベルおよび非アーベル群作用の下でのリウヴィル測度のプッシュフォワードに対する明示的公式を導出し、ホロモーフィック離散的系列表現の多重度公式の古典的類似をもたらす。

ABSTRACT

We prove a ðtype formula in a suitable non-compact setting. We use this formula to evaluate explicitly the pushforward of the Liouville measure via the moment map of both an abelian and a non-abelian group action. As an application we obtain the classical analogues of well-known multiplicity formulas for the holomorphic discrete series representations.

研究の動機と目的

• モーメント写像の成分がproperかつ下から有界である非コンパクトなシンプレクティック多様体へのDuistermaat-Heckman公式の拡張を図ること。
• この非コンパクトな設定において、ハミルトニアントーラスおよびリー群作用の下でのリウヴィル測度のプッシュフォワードを評価すること。
• アーベルおよび非アーベルの場合のDuistermaat-Heckman測度の明示的公式を提供すること。
• シンプレクティック幾何学を通じて、ホロモーフィック離散的系列表現の古典的多重度公式を回復すること。
• ホロモーフィック離散的系列に対応する非コンパクトな半単純リー群の正則な楕円型軌道を分析し、それらが必要な幾何的条件を満たしていることを示すこと。

提案手法

• モーメント写像成分 Φξ₀ がproperかつ下から有界であると仮定し、Im(ζ) が特定の開錐内にあるとき、∫_M e^{i⟨Φ,ζ⟩}β の積分が収束することを保証する。
• 正確な停留位相法を適用して、この非コンパクトな状況で有効なDuistermaat-Heckman型の公式を導出する。
• 温度付き分布関数およびフーリエ＝ラプラス変換の性質を用いて、非コンパクトな台を持つ場合に対処する。
• トーラス作用の場合に、明示的にプッシュフォワード測度 Φ_*|β| を計算する（定理3.2）。
• コンパクトなリー群 K とそのカルタン部分群 T のモーメント写像を用いて、結果を非アーベル群作用へ拡張する（定理3.7）。
• ホロモーフィック離散的系列に対応する非コンパクトな半単純リー群 G の軌道を分析し、幾何的仮定を満たしていることを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 モーメント写像の成分がproperかつ下から有界である非コンパクトなシンプレクティック多様体に対して、Duistermaat-Heckman公式を拡張することは可能か？
• RQ2 この非コンパクトな設定において、ハミルトニアントーラス作用の下でのリウヴィル測度のプッシュフォワードの明示的形は何か？
• RQ3 コンパクトなリー群が非コンパクト多様体に作用する場合、非アーベルDuistermaat-Heckman測度はどのように計算できるか？
• RQ4 非コンパクトな半単純リー群 G の正則な楕円型軌道は、拡張された公式に必要な幾何的条件を満たすか？
• RQ5 この枠組みを通じて、ホロモーフィック離散的系列表現の古典的多重度公式は、シンプレクティック不変量として回復可能か？

主な発見

• 本稿は、リー代数の双対空間内の特別な開錐内にIm(ζ)がある非コンパクトな設定において、Duistermaat-Heckman型の公式を確立する。
• アーベル群作用の下でのリウヴィル測度のプッシュフォワードは明示的に計算され、リー代数の双対空間上に区分的多項式密度を与える（定理3.2）。
• 非アーベル群作用の場合は、プッシュフォワード測度 J_*|β| が明示的に評価され（定理3.7）、以前の結果が非コンパクトな状況へ一般化される。
• ホロモーフィック離散的系列表現に対応する非コンパクトな半単純リー群 G の正則な楕円型軌道は、必要なproper性および有界性の条件を満たしている。
• G のコンパクトなカルタン部分群 T および最大コンパクト部分群 K の両方におけるDuistermaat-Heckman測度が、これらの軌道上で明示的に計算される。
• 結果として、ホロモーフィック離散的系列表現の古典的多重度公式が、シンプレクティック不変量として回復され、表現論的恒等式の幾何的解釈が与えられる。