[論文レビュー] Dunkl operator and quantization of $\mathbb{Z}_2$-singularity

Gilles Halbout, Xiang Tang|arXiv (Cornell University)|Aug 28, 2009

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 7被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、$Z_2$-symplecticな軌道体 $X = M/Z_2$ 上の星代数 $A^{((\nH))}_{X}$ に対して、$Z_2$-対称性を組み込むためにドゥンクル作用素を用いて、モーリー星積の一般化により、普遍的な変形量子化を構成する。これはドゥルグシェフ＝エティンフォの予想の重要な部分を確認するものであり、変形が余次元2の固定点部分多様体の成分によってパラメータ化され、フェドソフの方法を用いてシンプレクティック反射代数を全球的に拡張するものである。

ABSTRACT

Let $(X,ω)$ be a symplectic orbifold which is locally like the quotient of a $\mathbb{Z}_2$ action on $ eals^n$. Let $A^{((\hbar))}_X$ be a deformation quantization of $X$ constructed via the standard Fedosov method with characteristic class being $ω$. In this paper, we construct a universal deformation of the algebra $A^{((\hbar))}_X$ parametrized by codimension 2 components of the associated inertia orbifold $\widetilde{X}$. This partially confirms a conjecture of Dolgushev and Etingof in the case of $\mathbb{Z}_2$ orbifolds. To do so, we generalize the interpretation of Moyal star-product as a composition of symbol of pseudodifferential operators in the case where partial derivatives are replaced with Dunkl operators. The star-products we obtain can be seen as globalizations of symplectic reflection algebras.

研究の動機と目的

• $X = M/Z_2$ という $Z_2$-シンプレクティック軌道体上の星代数 $A^{((\nH))}_{X}$ の普遍的変形を構成すること。
• 標準的偏導関数の代わりにドゥンクル作用素を用いることで、モーリー星積を $Z_2$-対称性を反映させる形に一般化すること。
• ドゥルグシェフとエティンフォの予想を確認すること。すなわち、星代数の変形は障害なく、インertia軌道体 $\tX$ の余次元2成分によってパラメータ化されることを示すこと。
• ドゥンクル型擬微分作用素の一般化を用いて、シンプレクティック反射代数を全球的に実現すること。

提案手法

• 差分擬微分作用素の記号の合成を用い、標準的偏導関数の代わりにドゥンクル作用素を用いることで、モーリー積の一般化を行う。
• 結合的かつ $Z_2$-不変性を満たす $Z_2$-局所的双線形作用素の2つの族を定義し、$Z_2$-局所的星積を導く。
• 余次元2の固定点部分多様体のチューブ近傍の補集合上でフェドソフの標準的手法を適用し、ここでは星積が局所的にモーリー型である。
• 余次元2の固定点部分多様体付近で、一般化されたモーリー積を用いた修正されたフェドソフ構成を適用する。
• 標準的および一般化された星積の $Z_2$-局所性を活用して、重複領域での整合性を保証する。
• 生成関数とテイラー展開を用いて星積の係数を計算し、$Z_2$-対称生成関数 $1/(1-x)^{s+1}$ および $1/(1+x)^{s+1}$ を通じて組合せ的構造を同定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $Z_2$-軌道体上の星代数 $A^{((\nH))}_{X}$ の普遍的変形は、inertia軌道体の余次元2成分によってパラメータ化可能か？
• RQ2 ドゥンクル作用素を用いて、モーリー星積を $Z_2$-対称性を組み込む形に一般化できるか？
• RQ3 一般化された星積は、一貫性があり、結合的かつ $Z_2$-作用と整合する変形量子化をもたらすか？
• RQ4 フェドソフの方法を用いて、コンパクトなシンプレクティック軌道体へこの構成を全球的に拡張できるか？
• RQ5 $M = \nR^{2n}$ の場合に、得られる変形量子化は、形式的シンプレクティック反射代数と同型か？

主な発見

• 星代数 $A^{((\nH))}_{X}$ の普遍的変形が、$H^0(M^\nG_2/\nZ_2)((\nH))$ によってパラメータ化される形で構成され、$Z_2$-軌道体におけるドゥルグシェフ＝エティンフォの予想の重要な部分が確認された。
• 一般化された星積は結合的かつ $Z_2$-局所的であり、生成関数 $1/(1-x)^{\nL_0+n_0+1}(1+x)^{\nL_1+n_1}$ から導かれる組合せ的係数によって支配される。
• 星積展開における係数 $c_\nu$ は、$a(x,1/t)$ および $t^{m+n}/(1 - t p_1)^{\nL_0 + n_0 + 1}(1 + t p_1)^{\nL_1 + n_1}$ を含むローラン級数の積の $t^0$-係数として特定される。
• 作用素-記号積の公式は、反復差分作用素 $\nD^{m+n}$ の作用と同値であることが示され、対称な点の組への評価は $Z_2$-対称性を反映している。
• $M = \nR^{2n}$ の場合、得られる星積は形式的シンプレクティック反射代数のものと一致し、これらの代数の全球的実現が達成される。
• 開集合の重複領域において、標準的フェドソフ量子化と一般化されたモーリー積の間の整合性が達成され、整合的な全球的変形が保証される。