[論文レビュー] Duplicial algebras and Lagrange inversion

Jean-Christophe Novelli, Jean‐Yves Thibon|arXiv (Cornell University)|Sep 26, 2012

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ひとこと要約

本稿は、パーキング関数のホップ代数に作用する代数的構造を、二重代数的構造と三重代数的構造に基づいて確立し、カタラン部分代数を1生成子に関する自由二重代数として特定するとともに、シュレーディンガー部分代数を記述するための三重代数的操作を導入する。非可換ラグランジュの逆公式は二重代数的演算によって解釈され、一般解がすべてのパーキング関数の和として与えられ、その和が組合せ的多項式（例：スーパー・ナラヤナ多項式）を、代数上の特徴によって生成することを示す。

ABSTRACT

We provide operadic interpretations for two Hopf subalgebras of the algebra of parking functions. The Catalan subalgebra is identified with the free duplicial algebra on one generator, and the Schröder subalgebra is interpreted by means of a new operad, which we call triduplicial. The noncommutative Lagrange inversion formula is then interpreted in terms of duplicial structures. The generic solution of the noncommutative inversion problem appears as the formal sum of all parking functions. This suggests that combinatorial generating functions derived by functional inversion should be obtainable by evaluating a suitable character on this generic solution. This idea is illustrated by means of the Narayana polynomials, of which we obtain bivariate "super-analogues" by lifting to parking functions a classical character of the algebra of symmetric functions. Other characters, such as evaluation of symmetric functions on a binomial element, are also discussed.

研究の動機と目的

• パーキング関数代数の2つのホップ部分代数（カタラン部分代数とシュレーディンガー部分代数）に対する代数的解釈を提供すること。
• 非可換ラグランジュの逆公式を二重代数的構造によって解釈すること。
• すべてのパーキング関数の形式的和が非可換逆問題の一般解をなすことの証明。
• パーキング関数の特徴を用いて、ラッサールのナラヤナ多項式を2変数のスーパー類似に一般化すること。
• 対称関数の特徴（例：二項係数要素への評価）をパーキング関数代数に持ち上げ、組合せ的解釈を与えること。

提案手法

• 二重代数的操作を用いて、パーキング関数のカタラン部分代数を1生成子に関する自由二重代数として特定する。
• シュレーディンガー部分代数を記述するための新しい操作、三重代数的操作を導入し、これを用いて1生成子に関する自由代数として実現する。
• すべてのパーキング関数の和が満たす2次関数方程式を用いて、二分木と関連づけ、対合を介した対称性を確立する。
• パーキング関数代数上の特徴を用いて、組合せ的母関数（スーパー・ナラヤナ多項式を含む）を生成する。
• パックド評価によって定義される準同型を用いて、対称関数の特徴（例：二項係数要素への評価）をパーキング関数代数に持ち上げる。
• さまざまな特徴におけるすべてのパーキング関数の和の像に対して明示的な式を導出し、組合せ的解釈を持つ多項式列を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ホップ代数のパーキング関数は、どのように代数的部分構造に分解可能であり、その部分代数を支配する操作は何か？
• RQ2 すべてのパーキング関数の和は、非可換ラグランジュの逆公式の解をどのように表現するか？
• RQ3 古典的な組合せ的多項式（例：ナラヤナ多項式）は、パーキング関数の特徴を用いて2変数のスーパー類似に一般化可能か？
• RQ4 二項係数特徴をパーキング関数に持ち上げた際に生じる多項式 $ P_n(\alpha) = \alpha \prod_{k=1}^{n-1} ((n+1)\alpha + k) $ の係数に組合せ的意味はあるか？
• RQ5 逆多項式 $ Q_n(q) = (q-1)^{n-1} P_n(1/(q-1)) $ の係数は、対称群 $ \mathfrak{S}_n $ 上のブルア・順序のハッセ図において、組合せ的に解釈可能か？

主な発見

• 非減少パーキング関数の代数（カタラン部分代数）は、1生成子に関する自由二重代数に同型であり、二重代数的操作がその背後にある代数的構造を提供する。
• シュレーディンガー部分代数は、二重代数的構造を一般化する新しい操作、三重代数的操作に基づく自由代数として実現される。
• すべてのパーキング関数の和 $ G = \sum_{{\bf a} \in {\rm PF}} {\bf F}_{\bf a} $ は2次関数方程式を満たし、非可換ラグランジュの逆公式の一般解に対応する。
• Lassalleの公式を一般化したスーパー・ナラヤナ多項式 $ P_n(t,q) $ は、$ {\bf SQSym} $ 上の特徴を.liftすることで得られ、$ P_n(t,0) = (1+t)c_n(1+t) $ を満たし、シュレーディンガー経路における水平ステップに関連する統計で符号付きパーキング関数を数える。
• 長さ $ n $ のすべてのパーキング関数の和の二項係数特徴による像は $ g_n(\alpha) = \frac{1}{n+1} \binom{(n+1)\alpha + n - 1}{n} $ であり、その係数は $ {\bf a} \in {\rm PF}_n $、$ \sigma \in \mathfrak{S}_n $、かつ $ {\bf a}\sigma = {\bf a} $ を満たすペア $ ({\bf a}, \sigma) $ を数える。
• 逆多項式 $ Q_n(q) = (q-1)^{n-1} P_n(1/(q-1)) $ は $ (n+1)^{n-1} $ の $ q $-類似を与えるが、その係数は既知の数列（例：$ \mathfrak{S}_n $ 上のブルア・順序のハッセ図における辺の数）と一致する。