[論文レビュー] Dwell-time conditions for robust stability of impulsive systems

Sergey Dashkovskiy, Andrii Mironchenko|arXiv (Cornell University)|Feb 15, 2012

Stability and Control of Uncertain Systems参考文献 10被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、リャプノフ関数を用いて、インパルス系の入出力状態安定性（ISS）のための停留時間条件を確立する。一般のISSリャプノフ関数が存在する場合、非線形固定停留時間条件の下でISSが保証され、指数的ISSリャプノフ関数の場合は、一般化平均停留時間（gADT）条件の下で一様ISSが成立することを示した。これにより、従来の指数的ケースにとどまらず、非指数的ケースへも拡張され、相互接続系への応用が可能になる。

ABSTRACT

We prove that impulsive systems, which possess an ISS Lyapunov function, are ISS for impulse time sequences, which satisfy the fixed dwell-time condition. If the ISS Lyapunov function is the exponential one, we provide stronger result, which guarantees uniform ISS of the whole system over sequences of impulse times, which satisfy the generalized average dwell-time condition.

研究の動機と目的

• インパルス系のISSのための停留時間条件を、指数的リャプノフ関数に限定されない形に拡張すること。
• 一般ISSリャプノフ関数を有する系について、非線形固定停留時間（FDT）条件の下でISSを保証する十分条件を確立すること。
• 指数的ISSリャプノフ関数を有する系について、平均停留時間（ADT）条件を一般化平均停留時間（gADT）条件に拡張すること。
• 小利得定理によって非指数的ISSリャプノフ関数が得られる相互接続系のインパルス系に適用可能なフレームワークを提供すること。
• 反例解析を通じて、提案された停留時間条件のタイトネス（鋭さ）を示すこと。

提案手法

• 連続的フロー中は $ \dot{V} \leq -cV $ を満たすリャプノフ関数 $ V $ を用いる。インパルス発生時刻では $ V(x(t)) \leq e^{-d}V(x^-(t)) $ を満たす。
• 関数 $ h \in \mathcal{L} $ を用いて非線形固定停留時間条件を導入し、$ N(t,s) \leq h(t-s) $ を満たす。ここで $ N(t,s) $ は区間 $[s,t)$ 内のインパルス回数を表す。
• 連続的フロー中の指数的減衰とインパルス発生時の減少を組み合わせ、$ V(x(t)) \leq h(t-s)V(x(s)) $ を導出する。
• 比較補題の技法を用いて、$ \mathcal{KL} $-関数を用いて状態軌道をバウンディングし、一様なバウンディングを保証する。
• 時間変動する減衰率を許容できる一般化平均停留時間（gADT）条件を導入することで、平均停留時間条件を一般化する。
• 指数的ISSリャプノフ関数の存在を用いて、gADT条​​件の下で一様ISSを証明し、初期時刻に依存しない安定性推定を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ISSリャプノフ関数が指数的でない場合に、インパルス系のISSが停留時間条件のもとで保証されるか。
• RQ2 一般ISSリャプノフ関数を有する系に対して、ISSを保証する最弱の停留時間条件は何か。
• RQ3 平均停留時間条件を非指数的リャプノフ関数に対応可能に一般化する方法は何か。また、一様ISSを保つにはどうすればよいか。
• RQ4 提案された非線形固定停留時間条件はタイトか。すなわち、すべての such $ h $ に対して条件を満たさない場合、ある系が不安定になるか。
• RQ5 小利得定理によって非指数的ISSリャプノフ関数が得られる相互接続系のインパルス系へ、結果を拡張できるか。

主な発見

• ISSリャプノフ関数の存在は、$ N(t,s) \leq h(t-s) $ を満たすような $ h \in \mathcal{L} $ に対して、インパルス時刻列が満たす非線形固定停留時間条件のもとでISSを保証する。
• 指数的ISSリャプノフ関数を有する系では、一般化平均停留時間（gADT）条件のもとで一様ISSが保証され、定数 $ h \equiv e^{\mu} $ に基づく従来の結果が拡張される。
• 非線形固定停留時間条件はタイトである。すべての such $ h $ に対して条件を満たさない時刻列に対しては、そのような列に対してISSでない系が存在する。
• 状態軌道のバウンディングは初期時刻に依存せず、一様ISSが保証される。$ \beta $ および $ \gamma $ 関数はインパルス列に依存しない。
• 証明により、$ t $ が十分に大きいとき、$ V(x(t)) \leq C_\lambda \max\{1,e^{-d}\} \chi(\|u\|_\infty) $ が成り立つ。ここで $ C_\lambda = \sup_{x \geq 0} h(x) < \infty $ であり、入力に対して有界性が保証される。
• 結果として、[7] の定理1が非定数 $ h $ を許容することで一般化され、元の平均停留時間条件よりも広いクラスのインパルス列をカバーするようになった。