[論文レビュー] Dynamic Asymptotic Dimension: relation to dynamics, topology, coarse geometry, and $C^*$-algebras

Erik Guentner, Rufus Willett+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 27, 2015

Advanced Operator Algebra Research参考文献 43被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、局所コンパクト空間上の群作用およびエタール群準に適用可能な、幾何学的・力学的不変量である動的漸近次元（DAD）を導入する。これは、グロモフの漸近次元を一般化するものであり、関連するC*-代数の核次元を上から制限することを確立している。主な結果として、最小の$χ$-作用はDAD ≤ 1を満たし、バーテルス＝ルック＝ライヒ条件を満たす作用はDAD ≤ dを満たし、粗群準のDADは元の空間の漸近次元に等しくなる。これにより、ロウ代数および交叉積の核次元の鋭い推定が得られる。

ABSTRACT

We introduce dynamic asymptotic dimension, a notion of dimension for actions of discrete groups on locally compact spaces, and more generally for locally compact étale groupoids. We study our notion for minimal actions of the integer group, its relation with conditions used by Bartels, Lück, and Reich in the context of controlled topology, and its connections with Gromov's theory of asymptotic dimension. We also show that dynamic asymptotic dimension gives bounds on the nuclear dimension of Winter and Zacharias for C*-algebras associated to dynamical systems. Dynamic asymptotic dimension also has implications for K-theory and manifold topology: these will be drawn out in subsequent work.

研究の動機と目的

• 局所コンパクト空間上の群作用およびエタール群準に対する新しい不変量として動的漸近次元（DAD）を導入すること。
• DADとグロモフの漸近次元やバーテルス＝ルック＝ライヒ条件といった古典的不変量との関係を確立すること。
• 力学系から生じるC*-代数の核次元をDADを用いて上から制限すること、特に交叉積および一様ロウ代数に焦点を当てる。
• Mayer-Vietoris的手法を用いた制御された位相的・K理論的応用のための基礎的道具を構築すること。

提案手法

• 各集合上でE生成の同値関係が一様に有限な類を持つような、有限被覆によるDADの定義により、漸近次元を力学系に一般化する。
• DADに適したpartition of unityを用いて、C*-代数を複雑さが制御された部分同型な部分に分解する。
• ゲンツナー＝チェスラ＝ウィレットおよび第3著者の漸近次元に関する研究にインspiredされた、制御されたカットアンドパースト技術を適用する。
• ほぼ不変なpartition of unityの構成により、核次元の上界を証明し、低複雑性の代数への分解を可能にする。
• 群準理論的表現を用いて、非自由作用および非コンパクト空間へのDADの一般化を行う。
• 群準C*-代数と標準的交叉積との間の同型を確立し、結果を作用素代数的設定に転送する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 群作用が粗空間上で作用する文脈において、動的漸近次元はグロモフの漸近次元とどのように関係するか？
• RQ2 コンパクト空間上での最小の$χ$-作用の動的漸近次元は何か？ また、これにより交叉積C*-代数の構造はどのように関係するか？
• RQ3 バーテルス＝ルック＝ライヒ型の条件が、群作用に対して有限な動的漸近次元をどのように示唆するか？
• RQ4 動的漸近次元を用いて、力学系に付随するC*-代数の核次元を上から制限できるか？
• RQ5 粗群準の動的漸近次元と、その元の空間の漸近次元の間にはどのような関係があるか？

主な発見

• コンパクト空間上での最小の$χ$-作用は、動的漸近次元がちょうど1である。
• 有限部分群に対してバーテルス＝ルック＝ライヒ条件を満たす作用は、その条件における次元パrameter d に対して、動的漸近次元がd以下である。
• 可算離散群がそのストーン＝チェホフコンパクト化上に誘導する標準的作用の動的漸近次元は、グロモフの意味での群の漸近次元に等しい。
• 任意の有限漸近次元dを持つ可算群に対して、カントール集合上に自由かつ最小の作用が存在し、その動的漸近次元はd以下である。
• コンパクト空間X上の最小の$χ$-作用に対して、その被覆次元がNであるとき、その簡約交叉積$C(X)\rtimes_r\mathbb{Z}$の核次元は$2N+1$以下である。
• 有界幾何の粗空間Xの均一ロウ代数$C^*_u(X)$の核次元は、d以下である。ここでdはXの漸近次元である。