[論文レビュー] Dynamic Balanced Graph Partitioning

Chen Avin, Marcin Bieńkowski+3 more|arXiv (Cornell University)|Nov 6, 2015

Optimization and Search Problems参考文献 46被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、時間変動する通信パターンに応じてノードを均等なサイズのクラスタに再分割するオンライン動的バランス型グラフ分割問題を導入する。通信コストと移行コストを最小化する目的で、定数倍のクラスタサイズ拡張を許容する一般ケースに対して、$O(k\log k)$-competitiveな決定的アルゴリズムを提示し、決定的アルゴリズムですら、拡張を許容しても競合比の下界が $k$ であることを証明する。

ABSTRACT

This paper initiates the study of the classic balanced graph partitioning problem from an online perspective: Given an arbitrary sequence of pairwise communication requests between $n$ nodes, with patterns that may change over time, the objective is to service these requests efficiently by partitioning the nodes into $\ell$ clusters, each of size $k$, such that frequently communicating nodes are located in the same cluster. The partitioning can be updated dynamically by migrating nodes between clusters. The goal is to devise online algorithms which jointly minimize the amount of inter-cluster communication and migration cost. The problem features interesting connections to other well-known online problems. For example, scenarios with $\ell=2$ generalize online paging, and scenarios with $k=2$ constitute a novel online variant of maximum matching. We present several lower bounds and algorithms for settings both with and without cluster-size augmentation. In particular, we prove that any deterministic online algorithm has a competitive ratio of at least $k$, even with significant augmentation. Our main algorithmic contributions are an $O(k \log{k})$-competitive deterministic algorithm for the general setting with constant augmentation, and a constant competitive algorithm for the maximum matching variant.

研究の動機と目的

• 分散システムにおける時間変動する通信パターンへの応答として、ノードの動的再分割を扱う。
• 将来のリクエストを事前に知らないオンライン環境下で、クラスタ間通信コストとノード移行コストを同時に最小化する。
• 特にクラスタサイズ制約の下で、バランス型グラフ分割のオンラインアルゴリズムの性能に対する理論的限界を確立する。
• オンラインページングやオンラインマッチングといった古典的オンライン問題との関連を調査する。
• 仮想化環境（例：クラウドコンピューティング）における動的クラスタリングのための競合比の良いオンラインアルゴリズムを開発する。

提案手法

• ノードを固定サイズ $k$ のクラスタ間で動的に移行させることで、通信コストと移行コストを最小化するオンラインバランス型再分割（BRP）タスクとして問題をモデル化する。
• オンラインアルゴリズムの性能を、リクエスト列をすべて事前に知っている最適なオフラインアルゴリズムと比較するための競合分析を用いる。
• 複数のオフラインアルゴリズムの平均化を用いて、競合比の下界を導出する。
• クラスタサイズ拡張を用いて、$O(k\\log k)$-競合性を達成する決定的アルゴリズムを設計する。
• 性能の上限を評価するために、$k$ 個の巡回カット $\textsc{cut}(j)$ にノードを分割する手法を適用し、代替的なクラスタリングを探索する。
• 敵対的リクエスト列を用いて下界を証明し、オンラインアルゴリズムが非最適な構成に追い込まれることを示し、決定的アプローチの本質的限界を明らかにする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 クラスタサイズ拡張なしで、動的バランス型グラフ分割の決定的オンラインアルゴリズムが達成可能な最良の競合比は何か？
• RQ2 $k=2$ の特殊ケース（最大マッチングのオンライン版に相当）では、定数競合比のアルゴリズムが達成可能か？
• RQ3 クラスタサイズ拡張は競合比にどのように影響し、より良いアルゴリズム的保証を可能にするか？
• RQ4 クラスタ数 $\ell$ に依存しない競合比を持つオンラインアルゴリズムを設計することは可能か？
• RQ5 通信パターンが時間とともに変化する状況において、オンライン動的分割の根本的限界は何か？

主な発見

• 任意の決定的オンラインアルゴリズムについて、クラスタサイズ拡張を大幅に許容しても、競合比は少なくとも $k$ である。
• 定数倍のクラスタサイズ拡張を許容する一般ケースにおいて、$O(k\log k)$-競合性を達成する決定的アルゴリズムを提示した。
• 特殊ケース $k=2$ に対しては、決定的オンラインアルゴリズムの競合比の下界が 3 であることを証明した。
• 定数倍の拡張のもとで、$O(k\log k)$ の競合比が定数倍の要因を除いてタイトであることが確立された。
• $O(1)$-拡張ですら、競合比 $k$ を避けられないことが証明され、問題の本質的に $k$ に依存する性質が示された。
• 結果として、定数倍の拡張を用いることで、オフライン最適解が $O(k\log k)$ 要因以内に近似可能であることが示され、これは自明な $O(k^2 \ell^2)$ 界より顕著な改善である。