[論文レビュー] Dynamic Effective Resistances and Approximate Schur Complement on Separable Graphs

Gramoz Goranci, Monika Henzinger+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2018

Advanced Graph Theory Research参考文献 19被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、√n-分離可能グラフにおいて、(1+ε)-近似全域有効抵抗を、最悪計算量 Õ(√n/ε²) の更新時間とクエリ時間で維持する完全動的アルゴリズムを提示する。動的近似シュール補完を用いて端子間の有効抵抗を保持することで、分離可能グラフにおいてほぼ最適な性能を達成し、OMv予想を用いてタイトな条件付き下界を確立する。

ABSTRACT

We consider the problem of dynamically maintaining (approximate) all-pairs effective resistances in separable graphs, which are those that admit an $n^{c}$-separator theorem for some $c<1$. We give a fully dynamic algorithm that maintains $(1+\varepsilon)$-approximations of the all-pairs effective resistances of an $n$-vertex graph $G$ undergoing edge insertions and deletions with $ ilde{O}(\sqrt{n}/\varepsilon^2)$ worst-case update time and $ ilde{O}(\sqrt{n}/\varepsilon^2)$ worst-case query time, if $G$ is guaranteed to be $\sqrt{n}$-separable (i.e., it is taken from a class satisfying a $\sqrt{n}$-separator theorem) and its separator can be computed in $ ilde{O}(n)$ time. Our algorithm is built upon a dynamic algorithm for maintaining \emph{approximate Schur complement} that approximately preserves pairwise effective resistances among a set of terminals for separable graphs, which might be of independent interest. We complement our result by proving that for any two fixed vertices $s$ and $t$, no incremental or decremental algorithm can maintain the $s-t$ effective resistance for $\sqrt{n}$-separable graphs with worst-case update time $O(n^{1/2-δ})$ and query time $O(n^{1-δ})$ for any $δ>0$, unless the Online Matrix Vector Multiplication (OMv) conjecture is false. We further show that for \emph{general} graphs, no incremental or decremental algorithm can maintain the $s-t$ effective resistance problem with worst-case update time $O(n^{1-δ})$ and query-time $O(n^{2-δ})$ for any $δ>0$, unless the OMv conjecture is false.

研究の動機と目的

• √n-分離定理を満たすグラフにおいて、(1+ε)-近似全域有効抵抗を完全動的で維持するアルゴリズムの設計を目的とする。
• 分離可能グラフにおける端子集合間の対間有効抵抗を保持する近似シュール補完を維持する動的データ構造の開発を目的とする。
• 一般および√n-分離可能グラフにおけるs–t有効抵抗の増分的および減分的維持のためのタイトな条件付き下界を確立することを目的とする。
• 平面的およびマイナー自由グラフなどの構造的グラフ族における有効抵抗の静的アルゴリズムと動的設定との間のギャップを埋めることを目的とする。

提案手法

• アルゴリズムは、分離可能グラフにおける端子集合間の有効抵抗を保持するため、動的近似シュール補完構成を用いる。
• 近似誤差を制御するために、低ストレッチ全域木を維持し、スペクトルスパーシフィケーション技術を用いる。
• 効率的な更新とクエリを可能にするために、√n-分離子を用いたグラフの再帰的分解に依存する。
• 端子およびその近隣ノードが誘導する部分グラフにおけるラプラシアン行列の逆行列を近似するために、ノイマン級数展開を適用する。
• 定数加重度を維持するために、エッジ重みを動的に調整し、抵抗推定値の安定性を確保する。
• 更新時間およびクエリ時間の条件付き下界を証明するために、オンライン行列ベクトル（OMv）問題への還元を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 √n-分離可能グラフにおいて、(1+ε)-近似全域有効抵抗を、サブ線形時間の更新時間とクエリ時間で動的維持可能か？
• RQ2 分離可能グラフにおいて、端子間の対間有効抵抗を保持する近似シュール補完を維持する動的アルゴリズムは存在するか？
• RQ3 増分的または減分的設定におけるs–t有効抵抗の維持に、最悪計算量O(n^{1/2−δ})の更新時間とO(n^{1−δ})のクエリ時間で対応可能か？
• RQ4 OMv予想を用いて、一般および分離可能グラフにおける動的有効抵抗のタイトな難易度結果を確立できるか？

主な発見

• 本稿では、√n-分離可能グラフにおいて、(1+ε)-近似全域有効抵抗を維持する完全動的アルゴリズムを提示し、最悪計算量 Õ(√n/ε²) の更新時間とクエリ時間を達成する。
• アルゴリズムは、端子間の対間有効抵抗を保持する動的近似シュール補完に基づくが、これは独立に価値のある結果である可能性がある。
• √n-分離可能グラフでは、任意のδ > 0に対して、O(n^{1/2−δ})の更新時間とO(n^{1−δ})のクエリ時間でs–t有効抵抗を維持できる増分的または減分的アルゴリズムは存在しない（OMv予想が誤りでない限り）。
• 一般グラフでは、任意のδ > 0に対して、O(n^{1−δ})の更新時間とO(n^{2−δ})のクエリ時間でs–t有効抵抗を維持できる増分的または減分的アルゴリズムは存在しない（OMv予想が誤りでない限り）。
• uMv問題から有効抵抗への還元により、OMv予想の下で、本アルゴリズムの性能はほぼ最適であることが示された。
• 解析により、ラプラシアン逆行列のノイマン級数展開の最初の4項が有効抵抗推定値を支配することが判明し、高精度な近似が可能であることが分かった。