[論文レビュー] Dynamic Integer Sets with Optimal Rank, Select, and Predecessor Search

Mihai Pǎtraşcu, Mikkel Thorup|arXiv (Cornell University)|Aug 13, 2014

Algorithms and Data Compression参考文献 22被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、ワードRAM上で動的整数集合のデータ構造を提示しており、挿入、削除、直前要素、直後要素、ランク、選択操作を最適な O(log n / log w) 時間でサポートする。これは既知の下界と一致する。主な革新は、小規模な集合（n = w^O(1)）に対して定数時間で動作する動的融合ノードであり、データ構造分野における長年の未解決問題を解決する。

ABSTRACT

We present a data structure representing a dynamic set S of w-bit integers on a w-bit word RAM. With |S|=n and w > log n and space O(n), we support the following standard operations in O(log n / log w) time: - insert(x) sets S = S + {x}. - delete(x) sets S = S - {x}. - predecessor(x) returns max{y in S | y< x}. - successor(x) returns min{y in S | y >= x}. - rank(x) returns #{y in S | y< x}. - select(i) returns y in S with rank(y)=i, if any. Our O(log n/log w) bound is optimal for dynamic rank and select, matching a lower bound of Fredman and Saks [STOC'89]. When the word length is large, our time bound is also optimal for dynamic predecessor, matching a static lower bound of Beame and Fich [STOC'99] whenever log n/log w=O(log w/loglog w). Technically, the most interesting aspect of our data structure is that it supports all the above operations in constant time for sets of size n=w^{O(1)}. This resolves a main open problem of Ajtai, Komlos, and Fredman [FOCS'83]. Ajtai et al. presented such a data structure in Yao's abstract cell-probe model with w-bit cells/words, but pointed out that the functions used could not be implemented. As a partial solution to the problem, Fredman and Willard [STOC'90] introduced a fusion node that could handle queries in constant time, but used polynomial time on the updates. We call our small set data structure a dynamic fusion node as it does both queries and updates in constant time.

研究の動機と目的

• 動的ランクおよび選択操作における最適な時間計算量を達成するという、長年の未解決問題に取り組む。
• 動的整数集合において、最適な時間計算量を達成する直前探索クエリを効率的に行う課題を解決する。
• 動的ランクおよび選択操作の最適なクエリ時間と更新時間を同時に達成するデータ構造を設計する。これは、既知のセルプローブ下界と一致する。
• 小規模な集合（n = w^O(1)）に対してすべての操作を定数時間で行える動的融合ノードを構築し、Ajtai, Komlós, および Fredman が提示した主要な問題を解決する。

提案手法

• w ビットのワードを用いるワードRAMモデルを採用し、w ≥ log n を仮定することで、インデクシングと定数時間のワード演算を可能にする。
• n = w^O(1) の集合に対して挿入、削除、ランク、選択、直前要素、直後要素をすべて O(1) 時間で行える動的融合ノードを導入する。
• van Emde Boas 方式の再帰的構造と、最下層に配置された動的融合ノードを組み合わせることで、対数時間のクエリ時間を達成する。
• 複数のレベルを持つ階層的構造を用いる：上位レベルでは変更された融合ベースのアプローチを、下位レベルでは最適化された van Emde Boas または Y-fast tries に動的融合ノードを組み込む。
• h と q をパrameterとして用いた構成により、空間と時間のバランスを取る。部分構造に O(q^{2h}) の空間を割り当て、構築コストの非平均化を実現する。
• 静的下界から動的設定への還元を適用し、静的データ構造を動的挿入シーケンスでシミュレートすることで、下界の意味が保たれるようにする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 動的整数集合は、Fredman-Saks の下界 O(log n / log w) と一致する時間でランクおよび選択操作をサポートできるか？
• RQ2 w が大きい場合に、動的直前探索の最適時間 O(log n / log w) を達成できるか？これは Beame-Fich の静的下界と一致する。
• RQ3 n = w^O(1) の小規模な集合に対して、すべての操作を定数時間で行える動的融合ノードを構築できるか？これにより、Ajtai らが提示した未解決問題が解決される。
• RQ4 階層的構造をどのように設計すれば、すべてのレベルで最適な時間計算量を維持しながら、線形空間使用量を確保できるか？
• RQ5 キー長 ℓ が有界である場合の動的直前探索のタイトな最良境界は何か？そして、動的操作を用いてどのように達成できるか？

主な発見

• このデータ構造は、挿入、削除、直前要素、直後要素、ランク、選択操作をすべて O(log n / log w) 時間でサポートし、動的ランクおよび選択操作において最適である。
• log n / log w = O(log w / log log w) の場合、時間計算量 O(log n / log w) は、Beame と Fich の静的セルプローブ下界と一致するため、動的直前探索において最適である。
• n = w^O(1) の小規模な集合に対して、独自の動的融合ノードによりすべての操作を O(1) 時間で行える。これは、主要な未解決問題を解決する。
• 動的融合ノードにより、小規模な集合に対して定数時間の操作が可能となり、従来の多項式時間または確率的手法とは異なり、決定的解法を提供する。
• パrameterの範囲にかかわらず最適な境界を達成する。特に、キーの宇宙がほぼ満杯（2^ℓ - n が小さい）の場合でも、van Emde Boas の再帰深さを調整することで最適な性能を達成できる。
• 空間使用量は O(n) であり、クエリ時間と更新時間の両方を考慮しても、セルプローブモデルにおける最も強い既知の下界と一致する。