[論文レビュー] Dynamic Mean-LPM and Mean-CVaR Portfolio Optimization in Continuous-time

Jianjun Gao, Ke Zhou+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 14, 2014

Risk and Portfolio Optimization参考文献 26被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、下側部分モーメント（LPM）および条件付きバリューアットリスク（CVaR）を下向きリスクの指標として用いた連続時間動的ポートフォリオ最適化モデルを構築する。終値の資産充足下限を導入することにより、平均下向きリスクモデルにおける不適切な定式化（ill-posedness）を解消し、ラグランジュ乗数の存在および一意性を証明し、決定的機会集合下で解析的解を導出する。これにより、取り扱いやすく柔軟なリスク対応型ポートフォリオ配分が可能となる。

ABSTRACT

Instead of controlling "symmetric" risks measured by central moments of investment return or terminal wealth, more and more portfolio models have shifted their focus to manage "asymmetric" downside risks that the investment return is below certain threshold. Among the existing downside risk measures, the lower-partial moments (LPM) and conditional value-at-risk (CVaR) are probably most promising. In this paper we investigate the dynamic mean-LPM and mean-CVaR portfolio optimization problems in continuous-time, while the current literature has only witnessed their static versions. Our contributions are two-fold, in both building up tractable formulations and deriving corresponding analytical solutions. By imposing a limit funding level on the terminal wealth, we conquer the ill-posedness exhibited in the class of mean-downside risk portfolio models. The limit funding level not only enables us to solve both dynamic mean-LPM and mean-CVaR portfolio optimization problems, but also offers a flexibility to tame the aggressiveness of the portfolio policies generated from such mean - downside risk models. More specifically, for a general market setting, we prove the existence and uniqueness of the Lagrangian multiplies, which is a key step in applying the martingale approach, and establish a theoretical foundation for developing efficient numerical solution approaches. Moreover, for situations where the opportunity set of the market setting is deterministic, we derive analytical portfolio policies for both dynamic mean-LPM and mean-CVaR formulations.

研究の動機と目的

• 終値の資産充足下限を導入することで、動的平均下向きリスクポートフォリオモデルの不適切な定式化（ill-posedness）を是正する。
• マルティンゲール手法を用いて、一般のセミマルティンググール価格過程下での動的平均-LPMおよび平均-CVaR最適化問題を解く理論的基盤を構築する。
• 一般市場設定下でラグランジュ乗数の存在および一意性を証明し、数値的解法フレームワークの構築を可能にする。
• 機会集合が決定的である場合に、平均-LPMおよび平均-CVaR形式の両方について解析的ポートフォリオ方策を導出する。
• 資金充足下限制約を通じて、平均下向きリスクモデルが生じる過剰なポートフォリオ方策を抑制する柔軟なフレームワークを提供する。

提案手法

• 最適化問題の正則化および不適切な定式化の回避のため、終値の資産充足レベルに上限を設ける。
• 一般のセミマルティンググール価格過程下で、動的ポートフォリオ最適化にマルティンゲール手法を適用する。
• ラグランジュ双対性および分離超平面定理を用いて、双対乗数の存在および一意性を証明する。
• 補助変数を用いて双対問題を定式化し、必要十分な最適性条件を導出する。
• 決定的機会集合の場合、双対問題を明示的に解き、閉形式のポートフォリオ方策を取得する。
• 正規分布のモーメント生成関数を活用し、解の導出におけるインジケータ関数を含む期待値を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 動的平均-LPMおよび平均-CVaRポートフォリオ最適化問題を、連続時間で不適切な定式化を回避して定式化する方法は何か？
• RQ2 終値の資産充足下限は、平均下向きリスクモデルの安定化および正則化にどのような役割を果たすか？
• RQ3 動的平均-LPMおよび平均-CVaRポートフォリオ問題において、解析的解が導出可能な条件は何か？
• RQ4 双対定式化におけるラグランジュ乗数はどのように振る舞い、その存在および一意性を保証する要因は何か？
• RQ5 マルティンゲール手法は、連続時間設定下でLPMやCVaRといった下向きリスク指標へと成功裏に拡張可能か？

主な発見

• 終値の資産充足下限の導入により、平均下向きリスクモデルに内在する不適切な定式化（ill-posedness）が解消され、明確に定義された最適化が可能となる。
• 著者らは、双対定式化におけるラグランジュ乗数の存在および一意性を証明し、マルティンゲール法の適用に不可欠な基盤を提供する。
• 機会集合が決定的である場合、動的平均-LPMおよび平均-CVaRモデルの両方について解析的ポートフォリオ方策が導出される。
• 双対問題の最適性条件により、解が元の制約を満たすことが保証され、双対性アプローチの妥当性が裏付けられる。
• 証明により、目的関数に関連する双対乗数は正である必要があることが示され、退化しない解が保証される。
• 超平面定理による凸集合の分離により、最適解が実行可能集合の相対的内部に位置することを確認し、強い双対性を支持する。