[論文レビュー] Dynamic mode decomposition with control

Joshua L. Proctor, Steven L. Brunton+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 22, 2014

Model Reduction and Neural Networks参考文献 24被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、状態と制御入力を分離することで高次元系の低ランクモデルを抽出するデータ駆動型手法である制御付き動的モード分解（DMDc）を紹介する。状態と制御入力のスナップショットを活用することで、支配方程式が不要な状態-出力モデルとシステム同定が可能となり、制御が加えられる系において従来のDMDを著しく上回る性能を発揮する。

ABSTRACT

We develop a new method which extends Dynamic Mode Decomposition (DMD) to incorporate the effect of control to extract low-order models from high-dimensional, complex systems. DMD finds spatial-temporal coherent modes, connects local-linear analysis to nonlinear operator theory, and provides an equation-free architecture which is compatible with compressive sensing. In actuated systems, DMD is incapable of producing an input-output model; moreover, the dynamics and the modes will be corrupted by external forcing. Our new method, Dynamic Mode Decomposition with control (DMDc), capitalizes on all of the advantages of DMD and provides the additional innovation of being able to disambiguate between the underlying dynamics and the effects of actuation, resulting in accurate input-output models. The method is data-driven in that it does not require knowledge of the underlying governing equations, only snapshots of state and actuation data from historical, experimental, or black-box simulations. We demonstrate the method on high-dimensional dynamical systems, including a model with relevance to the analysis of infectious disease data with mass vaccination (actuation).

研究の動機と目的

• 制御入力が抽出された動的挙動を歪めるため、標準的DMDがアクチュエート系に対応できないという限界を解消すること。
• 高次元系において、内在的動的挙動と外部制御効果を分離するデータ駆動型手法を開発すること。
• 実験的データ、履歴データ、ブラックボックスシミュレーションデータから正確な入出力モデルを構築するための、堅牢で方程式を必要としないフレームワークを提供すること。
• フルオーダー制御が計算的に非現実的となる複雑な系における低ランクモデリングと制御器設計を可能にすること。
• 従来のシステム同定手法（ERAやOKID）に比べ、豊富な非インパルス制御入力を持つ系に対しても性能を向上させるDMDの能力を拡張すること。

提案手法

• DMDcは、状態スナップショットと制御入力軌道を組み合わせた拡張データ行列を構築し、全系挙動を捉える。
• 拡張データ行列に対してSVDを用いた低ランク近似を適用し、主要な動的モードと制御効果を抽出する。
• 修正されたDMDアルゴリズムを用いて、行列A（動的挙動）、B（制御影響）、C（観測マッピング）の形で低ランク系モデルを計算する。
• 制御履歴全体を考慮した最小二乗法を用いて、行列Bを直接データから計算することで、ノイズに強い性能を実現する。
• DMDとKoopman作用素理論との関連を活用し、非線形系における空間的・時間的整合構造を同定する。
• 全系方程式を解く必要がないスナップショットベースのアプローチを採用することで、ブラックボックスまたは実験的データへの適用を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 DMDは、外部制御入力を持つ系を扱えるように拡張可能であり、内在的挙動の正確なモデリングを維持できるか？
• RQ2 高次元でデータ駆動のモデルにおいて、制御入力の影響を内在的系挙動から分離する方法は何か？
• RQ3 ノイズ耐性と入力信号の柔軟性の観点から、DMDcはERA や OKID といった伝統的システム同定手法をどの程度上回るか？
• RQ4 DMDcは、介入データを含むエピデミオロジー的モデルのような実世界の高次元系に効果的に適用可能か？
• RQ5 DMDcは、複雑な系における限られたまたはスパースな測定値から低ランク入出力モデルを同定する性能をどの程度発揮するか？

主な発見

• DMDcは、内在的挙動と制御効果を効果的に分離し、外部力が作用する状況下でも正確な入出力モデリングを可能にする。
• 特に豊富な入力信号を持つ系において、ERA や OKID といったシステム同定手法に代わる堅牢で計算効率の良い代替手段を提供する。
• 特に長い入力履歴を用いる場合、ノイズ耐性がERA よりも優れている。
• 支配方程式の知識がなくても、高次元系の正確な低ランクモデリングが可能である。
• エピデミオロジーの事例研究において、DMDcは、マスワクチン接種（制御）が感染拡大に与える影響を的確にモデリングし、履歴データから意味のある挙動を抽出した。
• 特に複雑または非インパルス制御入力を持つ系において、システム同定手法と同等の精度を達成しながらも、より柔軟でスケーラブルである。