[論文レビュー] Dynamic Optimization with Convergence Guarantees

Martin Neuenhofen, Eric C. Kerrigan|arXiv (Cornell University)|Oct 9, 2018

Spacecraft Dynamics and Control参考文献 44被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、非線形微分および不等式制約を伴う動的最適制御問題を解くための新しい直接変換法を提案する。等式制約には積分二次ペナルティを、不等式制約には対数バリア関数を用いる。弱い仮定—有界性およびリプシッツ連続性—のもとで、真の解への収束を証明し、一意性や微分可能性、制約適合条件の要請を必要としない。従来のコロケーション法と比較して優れた収束特性を示す。

ABSTRACT

We present a novel direct transcription method to solve optimization problems subject to nonlinear differential and inequality constraints. We prove convergence of our numerical method under reasonably mild assumptions: boundedness and Lipschitz-continuity of the problem-defining functions. We do not require uniqueness, differentiability or constraint qualifications to hold and we avoid the use of Lagrange multipliers. Our approach differs fundamentally from well-known methods based on collocation; we follow a penalty-barrier approach, where we compute integral quadratic penalties on the equality path constraints and point constraints, and integral log-barriers on the inequality path constraints. The resulting penalty-barrier functional can be minimized numerically using finite elements and penalty-barrier interior-point nonlinear programming solvers. Order of convergence results are derived, even if components of the solution are discontinuous. We also present numerical results to compare our method against collocation methods. The numerical results show that for the same degree and mesh, the computational cost is similar, but that the new method can achieve a smaller error and converges in cases where collocation methods fail.

研究の動機と目的

• 非線形微分および不等式制約を伴う無限次元最適制御問題を、数値的に安定かつ収束性が保証される方法で解くこと。
• 既存の手法で一般的に用いられるラグランジュ乗数、制約適合条件、微分可能性の仮定に依存しないようにすること。
• 問題関数の有界性およびリプシッツ連続性という最小限の仮定のもとで、厳密な収束保証を提供すること。
• 特にスティフ（剛性）または不連続な問題において、コロケーション法の既知の失敗モードを克服すること。
• 解成分が不連続である場合でも、収束の次数に関する結果を確立すること。

提案手法

• 等式経路制約を強制するために積分二次ペナルティを、不等式経路制約を処理するために積分対数バリア関数を用いる。
• 有限要素離散化を用いて、無限次元最適制御問題を有限次元非線形計画問題に変換する。
• ペナルティ・バリア関数を内点法非線形計画ソルバを用いて最小化することで、ラグランジュ乗数の必要性を回避する。
• 解候補のためのヒルベルト空間フレームワークを用い、状態変数の連続性と制御の可積分性を保証する。
• 解の存在およびコスト関数と制約関数の有界性およびリプシッツ連続性という弱い仮定のもとで収束を証明する。
• 微分不可能で一意でない解に対しても耐性を持つように設計されており、実世界の応用に適している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 動的最適化のための直接変換法は、微分可能性や制約適合条件を要件とせず、真の解への収束を達成できるか？
• RQ2 積分ペナルティと対数バリアを用いたペナルティ・バリアアプローチは、困難な場合に従来のコロケーション法よりも優れた収束特性を示すか？
• RQ3 問題関数の有界性およびリプシッツ連続性という仮定のみのもとで、収束を厳密に証明できるか？
• RQ4 標準的なコロケーション法が収束しない問題において、この手法はどのように動作するか？
• RQ5 解成分が不連続である場合でも、収束の次数はどのようになるか？

主な発見

• 本手法は、問題関数の有界性およびリプシッツ連続性という弱い仮定のもとで、真の最適解への収束を証明する。一意性や制約適合条件の要請は不要である。
• Legendre-Gauss-Radauコロケーション法が失敗する状況でも、任意の次数のパラメトリック問題において本手法は収束を達成する。
• 同じメッシュと多項式次数において、計算コストはコロケーション法と同等であるが、本手法はより小さい誤差を達成する。
• 解成分が不連続である場合でも、収束の次数に関する結果を提供する。これは、多くの既存手法が失敗する状況である。
• ペナルティ・バリア関数が解ノルムに関してリプシッツ連続であることが示され、数値的安定性を支持する。
• 対数バリア項は $\mathcal{O}(\tau^{1-\zeta})$ として有界であり、バリアパラメータ $\tau \to 0$ のときもバリア項が適切に振る舞うことが保証される。