[論文レビュー] Dynamic Parameterized Problems and Algorithms

David R. Gibb, Bruce M. Kapron+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 22, 2015

Energy Efficient Wireless Sensor Networks参考文献 5被引用数 40

ひとこと要約

本稿では、最悪計算量がO(log⁴n)で、空間計算量がO(n log²n)の部分線形空間を用いた動的グラフ連結性データ構造を提示している。従来のO(log⁵n)の更新時間よりもlog nの要因で高速化された。本手法は、L0サンプリングと効率的な1-スパース回復技術を用いた新規なカットセットデータ構造を活用し、高確率でスパニングフォレストを維持することで、部分線形空間を確保しつつ、多項式長の更新列にわたっても正しいクエリ応答を高確率で保証する。

ABSTRACT

Fixed-parameter algorithms and kernelization are two powerful methods to solve NP-hard problems. Yet, so far those algorithms have been largely restricted to static inputs. In this paper we provide fixed-parameter algorithms and kernelizations for fundamental NP-hard problems with dynamic inputs. We consider a variety of parameterized graph and hitting set problems which are known to have f(k)n^{1+o(1)} time algorithms on inputs of size n, and we consider the question of whether there is a data structure that supports small updates (such as edge/vertex/set/element insertions and deletions) with an update time of g(k)n^{o(1)}; such an update time would be essentially optimal. Update and query times independent of n are particularly desirable. Among many other results, we show that Feedback Vertex Set and k-Path admit dynamic algorithms with f(k)log O(1) n update and query times for some function f depending on the solution size k only. We complement our positive results by several conditional and unconditional lower bounds. For example, we show that unlike their undirected counterparts, Directed Feedback Vertex Set and Directed k-Path do not admit dynamic algorithms with n^{o(1) } update and query times even for constant solution sizes k <= 3, assuming popular hardness hypotheses. We also show that unconditionally, in the cell probe model, Directed Feedback Vertex Set cannot be solved with update time that is purely a function of k.

研究の動機と目的

• より高速な最悪計算量の更新時間と部分線形空間使用量を実現する完全動的グラフ連結性アルゴリズムの設計。
• 従来のO(log⁵n)の境界よりも改善され、O(log⁴n)の最悪計算量の更新時間の達成。
• 多項式長の更新列にわたって高確率で正しさを保証しつつ、O(n log²n)ワードのメモリ空間での実装。
• 動的2辺連結性への応用を拡張し、部分線形空間と改善された平均計算量の更新時間の両方を達成。

提案手法

• 各層にO(log n)の層を備えたスパニングフォレストを維持する新しいカットセットデータ構造を導入。
• L0サンプリングと、2の累乗を法とする整数演算を用いた新規な1-スパース回復技術を用い、カットを横切るエッジを定数確率で特定。
• ハッシュ関数hjとfj,bを用いた階層的サンプリングにより、異なるレベルでエッジにタグを付与し、木のカットセットから出るエッジを効率的に探索可能に。
• 各ノードで補助ベクトルsi(x)とs′i,j,b(x)を維持し、エッジ名とタグの和を追跡することで、カットセットエッジの高速検出を可能に。
• 素数を法とする多項式評価を用いて、エッジ名の一意な回復を高確率で検証し、誤差を任意の定数cに対して1/n^cにまで低減。
• 複数の独立したブラックボックス動的連結性構造（CONN1, CONN2）と2辺連結性オラクル（2-EDGE）を用い、2辺連結性を維持。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 動的グラフ連結性は、O(log⁴n)の最悪計算量の更新時間と部分線形空間で維持可能か？
• RQ2 カットセットデータ構造は、O(n log n)ワードのメモリで、木のカットセットから出るエッジを定数確率で特定可能か？
• RQ3 多項式長の更新列にわたって高確率でクエリの正しさを保証しつつ、O(n log²n)のメモリ空間で実装可能か？
• RQ4 本手法は、部分線形空間とO(log⁶n)の平均計算量の更新時間を持つ動的2辺連結性へ拡張可能か？

主な発見

• 本稿は、動的グラフ連結性においてO(log⁴n)の最悪計算量の更新時間を達成し、従来のO(log⁵n)の境界をlog nの要因で改善した。
• アルゴリズムはO(n log²n)ワードのメモリ空間のみを用い、2012年の最も効率の良い動的グラフストリームアルゴリズムと同等の空間計算量を達成した。
• クエリは高確率でO(log n / log log n)の時間で応答され、多項式長の更新列にわたって正しく動作することが保証される。
• アルゴリズムは、O(log⁶n)の平均計算量の更新時間とO(log n / log log n)のクエリ時間で、O(n log²n)ワードのメモリ空間を用いて動的2辺連結性をサポートする。
• カットセットデータ構造は、高確率（1 - 1/n^c）で返されたエッジがカットセット内に属することを保証し、回復手法は2の累乗を法とする乗算をO((c + d) lg n)回で実行する。
• 本手法は両側エラー1/n^cを達成し、追加のO(m)のメモリを用いることで、『はい』の応答が常に正しい1方向エラーにまで低減可能。