[論文レビュー] Dynamic Pricing with Demand Covariates

Sheng Qiang, Mohsen Bayati|arXiv (Cornell University)|Apr 25, 2016

Advanced Bandit Algorithms Research参考文献 24被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、需要共変量を含むgreedy iterative least squares (GILS)が、明示的な探索を伴わずとも動的価格設定において漸近的に最適なリグレット $\log(T)$ のオーダーを達成することを示している。共変量の追加——無関係なものであっても——は自動的に学習に必要な価格分散を生じさせ、強制的な実験の必要性を排除し、データ豊富な環境におけるGILSの不完全学習問題を解決する。

ABSTRACT

We consider a firm that sells products over $T$ periods without knowing the demand function. The firm sequentially sets prices to earn revenue and to learn the underlying demand function simultaneously. A natural heuristic for this problem, commonly used in practice, is greedy iterative least squares (GILS). At each time period, GILS estimates the demand as a linear function of the price by applying least squares to the set of prior prices and realized demands. Then a price that maximizes the revenue, given the estimated demand function, is used for the next time period. The performance is measured by the regret, which is the expected revenue loss from the optimal (oracle) pricing policy when the demand function is known. Recently, den Boer and Zwart (2014) and Keskin and Zeevi (2014) demonstrated that GILS is sub-optimal. They introduced algorithms which integrate forced price dispersion with GILS and achieve asymptotically optimal performance. In this paper, we consider this dynamic pricing problem in a data-rich environment. In particular, we assume that the firm knows the expected demand under a particular price from historical data, and in each period, before setting the price, the firm has access to extra information (demand covariates) which may be predictive of the demand. We prove that in this setting GILS achieves asymptotically optimal regret of order $\log(T)$. We also show the following surprising result: in the original dynamic pricing problem of den Boer and Zwart (2014) and Keskin and Zeevi (2014), inclusion of any set of covariates in GILS as potential demand covariates (even though they could carry no information) would make GILS asymptotically optimal. We validate our results via extensive numerical simulations on synthetic and real data sets.

研究の動機と目的

• greedy iterative least squares (GILS)価格戦略に需要共変量を組み込むことで、強制的な価格分散なしに内在する不完全学習問題が解消されるかどうかを調査すること。
• 未知の需要関数下で、GILSに共変量を組み込んだ場合に、漸近的に最適なリグレットを達成する理論的条件を確立すること。
• 無関係な共変量ですら、GILSが漸近的に最適になるために十分な探索を誘発できることを示し、別個の探索戦略の必要性を排除すること。
• 合成データおよび実世界のデータセットを用いた広範な数値シミュレーションを通じて、理論的結果の妥当性を検証すること。
• モデルをi.i.d.でない共変量およびマーティングドリフトのショックへ一般化し、結果の適用範囲をi.i.d.仮定を超えて拡張すること。

提案手法

• 企業が$T$期間にわたり価格を設定し、未知の需要関数を学習しながら収益を最大化するという逐次的意思決定問題として動的価格設定を定式化する。
• 需要を価格および共変量の線形関数としてモデル化し、加法的なi.i.d.またはマーティングドリフトのショックを仮定し、各期間において最小二乗法を用いて需要関数を推定する。
• GILSを適用：各時刻$t$において、履歴データ（価格と実現した需要）を用いて需要関数を推定し、現在の推定に基づき収益を最大化する価格を選択する。
• 設計行列（価格および共変量）の最小固有値が正の下限値の周囲に集中することを証明し、推定の安定性と収束性を保証する。
• 最近年の行列マルティンググレート濃縮不等式（Tropp, 2011）を用いて、推定誤差およびリグレットの鋭い境界を導出する。
• 共変量がi.i.d.でない場合や一般の誤差過程に対しても、条件付き平均がゼロで、条件付き共分散行列の固有値が一様に有界であるという弱い仮定のもとで分析を拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 GILSに需要共変量を組み込むことで、明示的探索なしに動的価格設定において漸近的に最適なリグレットが達成されるか？
• RQ2 関係のない、あるいは情報のない共変量ですら、GILSの不完全学習問題を解消するのに十分な価格分散を誘発できるか？
• RQ3 GILSに共変量を組み込んだ場合に、$O(\log T)$ のリグレットバウンドを保証するための設計行列および誤差構造の十分条件は何か？
• RQ4 GILSに共変量を組み込んだ戦略は、共変量およびショックのi.i.d.仮定の違反に対してどれほど頑健か？
• RQ5 理論的リグレットバウンドは、i.i.d.列よりも一般の確率過程へ拡張可能か？

主な発見

• GILSに需要共変量を組み込むことで、漸近的に最適なリグレット $O(\log T)$ を達成し、この問題クラスの理論的下界と一致する。
• 予測可能性の有無に関わらず、任意の共変量のセットを組み込むことで、自動的に十分な探索が生じ、GILSが漸近的に最適になる。
• リグレットバウンドは、最小固有値の鋭い濃縮不等式を用いて導出され、行列マルティンググレート濃縮（Tropp, 2011）に依存する。
• 価格項の係数がゼロであっても、$O(\log T)$ バウンドの定数は有限のままであり、モデルの誤指定に対しても頑健であることが示される。
• 理論的結果は、共変量が条件付き平均ゼロで、その条件付き共分散行列の固有値が一様に有界であるという一般仮定のもとで成立する。
• 合成データおよび実データを用いた数値シミュレーションにより、さまざまなモデル違反やデータ条件下でも、$O(\log T)$ のリグレット性能が頑健であることが確認された。