[論文レビュー] Dynamic programming for infinite horizon boundary control problems of PDE's with age structure

Silvia Faggian, Fausto Gozzi|ArXiv.org|Jun 26, 2008

Optimization and Variational Analysis参考文献 36被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、年齢構造を有する線形偏微分方程式（PDE）に支配される無限時間境界制御問題に対する動的計画法を確立し、値関数が唯一のC¹解として定常ハミルトン＝ジャコビ＝ベルマン（HJB）方程式を満たし、一意なフィードバック制御が存在することを証明する。結果は、有限時間問題からの極限手続きを用いて得られ、制御作用素が有界でない場合や、滑らかでない走行コストを含む無限時間への拡張を含み、経済成長におけるバーチャル資本モデルへの応用を含む。

ABSTRACT

We develop the dynamic programming approach for a family of infinite horizon boundary control problems with linear state equation and convex cost. We prove that the value function of the problem is the unique regular solution of the associated stationary Hamilton--Jacobi--Bellman equation and use this to prove existence and uniqueness of feedback controls. The idea of studying this kind of problem comes from economic applications, in particular from models of optimal investment with vintage capital. Such family of problems has already been studied in the finite horizon case by Faggian. The infinite horizon case is more difficult to treat and it is more interesting from the point of view of economic applications, where what mainly matters is the behavior of optimal trajectories and controls in the long run. The study of infinite horizon is here performed through a nontrivial limiting procedure from the corresponding finite horizon problem.

研究の動機と目的

• 線形PDEと年齢構造を有する無限時間境界制御問題に対する動的計画法の開発。
• 有界でない制御作用素と凸的（おそらく無限大をとる）コストを伴う状況において、値関数が定常HJB方程式の唯一のC¹解であることを確立すること。
• 有限時間問題からの極限手続きを用いて、最適フィードバック制御の存在と一意性を証明すること。
• 非線形または制約付き投資コストを含むバーチャル資本を有する経済的投資最適化モデルへのフレームワークの適用。
• 初期データがHに属する場合に、最適軌道と制御が元の状態空間Hに留まることを保証すること。これは、技術的便宜として拡大空間V′で作業を行うが、物理的・経済的意味の保持を目的としている。

提案手法

• 重み付きLp空間を用いて制御に適した、線形状態方程式と凸的（おそらく無限大をとる）コスト関数を有する無限時間制御問題を定式化する。
• 有限時間問題からの極限手続きを用い、値関数ΨTが既に時間発展HJB方程式を満たすことが知られていることを利用する。
• 有界でない制御作用素Bとハミルトニアンの不連続性に対処するため、拡大された双対空間V′ ⊃ Hで作業する。
• 有限時間の値関数ΨTがT → ∞のとき極限Ψ∞に収束することを証明し、これが定常HJB方程式の解であることを示す。
• バーブとダ・プラトによる凸正則化法を、境界制御および非解析的半群に適合させた改良版を用いる。
• 初期データx ∈ Hの場合に、最適軌道がHに留まることを確認し、解の物理的・経済的妥当性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有界でない制御作用素と年齢構造を有するPDEを有する無限時間境界制御問題に対して、動的計画法の原則を拡張できるか？
• RQ2 このような無限時間問題の値関数が、定常ハミルトン＝ジャコビ＝ベルマン方程式の唯一のC¹解であるか？
• RQ3 これらの問題に対して一意な最適フィードバック制御が存在するか？また、HJB方程式を用いてその特徴づけは可能か？
• RQ4 制御作用素が有界でない場合に、無限時間問題を有限時間問題から厳密に導出できるか？
• RQ5 初期状態xがHに属する場合に、技術的便宜として拡大空間V′で作業しているにもかかわらず、最適軌道が元の状態空間Hに留まる条件は何か？

主な発見

• 値関数Z∞(0,x)は、定常HJB方程式（1.4）の唯一のC¹解であり、解の正則性と一意性が保証される。
• 値関数は、有限時間の値関数ΨTをT → ∞の極限として点ごとの収束として得られ、極限手続きの収束が確立される。
• 一意な最適フィードバック制御が存在し、それが値関数の勾配によって特徴づけられる。これにより、制御問題に対する構成的解法が得られる。
• 初期状態x ∈ Hの場合に、最適軌道は元のヒルバート空間Hに留まる。これは、技術的便宜として拡大空間V′で解析が行われるが、物理的・経済的意味の保持を保証する。
• 結果は、非二次的および非線形生産関数を含むバーチャル資本モデルを有する経済モデルに適用可能であり、先行研究を非二次的および部分線形生産関数へと拡張する。
• フレームワークは制約なしおよび制約ありの両方の制御を扱える。後者は、拡張実数値、凸的、下半分連続（l.s.c.）コスト関数h₀によってモデル化される。