[論文レビュー] Dynamic Sketching for Graph Optimization Problems with Applications to Cut-Preserving Sketches

Sepehr Assadi, Sanjeev Khanna+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 12, 2015

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 18被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、k個の端末をもつ静的グラフをサイズpoly(k)のコン pactなスケッチに圧縮することで、端末間の動的エッジ更新に対しても効率的に最大マッチングやカット保存性を計算できる、グラフ最適化のためのダイナミックスケッチモデルを導入する。最大マッチングに対してはタイトなO(k²)の境界を証明し、カット保存スケッチのサイズがO(kC²)であることを導出。情報理論的下界により、最大クリークや頂点被覆のような問題では2Ω(k)の空間が必要であることが示されている。

ABSTRACT

In this paper, we introduce a new model for sublinear algorithms called \emph{dynamic sketching}. In this model, the underlying data is partitioned into a large \emph{static} part and a small \emph{dynamic} part and the goal is to compute a summary of the static part (i.e, a \emph{sketch}) such that given any \emph{update} for the dynamic part, one can combine it with the sketch to compute a given function. We say that a sketch is \emph{compact} if its size is bounded by a polynomial function of the length of the dynamic data, (essentially) independent of the size of the static part. A graph optimization problem $P$ in this model is defined as follows. The input is a graph $G(V,E)$ and a set $T \subseteq V$ of $k$ terminals; the edges between the terminals are the dynamic part and the other edges in $G$ are the static part. The goal is to summarize the graph $G$ into a compact sketch (of size poly$(k)$) such that given any set $Q$ of edges between the terminals, one can answer the problem $P$ for the graph obtained by inserting all edges in $Q$ to $G$, using only the sketch. We study the fundamental problem of computing a maximum matching and prove tight bounds on the sketch size. In particular, we show that there exists a (compact) dynamic sketch of size $O(k^2)$ for the matching problem and any such sketch has to be of size $Ω(k^2)$. Our sketch for matchings can be further used to derive compact dynamic sketches for other fundamental graph problems involving cuts and connectivities. Interestingly, our sketch for matchings can also be used to give an elementary construction of a \emph{cut-preserving vertex sparsifier} with space $O(kC^2)$ for $k$-terminal graphs; here $C$ is the total capacity of the edges incident on the terminals. Additionally, we give an improved lower bound (in terms of $C$) of $Ω(C/\log{C})$ on size of cut-preserving vertex sparsifiers.

研究の動機と目的

• 静的および動的グラフ部分を分離することで、効率的なクエリ応答を可能にする、サブリニアアルゴリズムのための新しいモデル—ダイナミックスケッチ—の開発を目的とする。
• 端末エッジに対する動的更新下での、最大マッチング、s-tエッジ連結性、カット保存性といった基本的グラフ問題の空間計算量を調査することを目的とする。
• 主要問題におけるスケッチサイズのタイトな上界および下界を確立し、最大マッチングに対してO(k²)が最適であることを示すこと。
• マッチング用のダイナミックスケッチが、サイズO(kC²)のカット保存型頂点スパーシファイアを構築するのを利用できることを示し、既知の最良上界と一致することを示すこと。
• 最大クリークや最小頂点被覆のような問題に対して指数的下界を証明することで、ダイナミックスケッチフレームワークの本質的限界を特定すること。

提案手法

• k個の端末をもつグラフが、全グラフサイズに依存しないサイズpoly(k)のスケッチに圧縮されるk-ダイナミックスケッチングモデルを提案する。
• グラフの静的エッジを要約する圧縮アルゴリズムと、スケッチと動的エッジ更新を組み合わせてクエリに応答する抽出アルゴリズムを設計する。
• メンバーシップ問題への還元を用いて、最大クリーク問題におけるスケッチサイズにΩ(2k)の下界を証明する。
• マッチングスケッチを応用して、サイズO(kC²)のカット保存型頂点スパーシファイアを構築する。ここでCは全端末容量を表す。
• s-t最大流のダイナミックスケッチとカット保存型頂点スパーシファイアのサイズとの間に接続を確立し、一方の進展が他方の進展を意味することを示す。
• 情報理論的議論を用いて、計算能力が無制限であっても、Pに属する特定の問題では2Ω(k)の空間が必要であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 最大マッチング問題のためのコンパクトなダイナミックスケッチを設計可能か？ そのスケッチサイズがpoly(k)で、端末エッジの更新に対しても効率的に処理可能か？
• RQ2 ダイナミックスケッチの最大マッチングの最適スケッチサイズは何か？ そしてそれがタイトであることを証明可能か？
• RQ3 マッチング用のダイナミックスケッチを用いて、サイズO(kC²)のカット保存型頂点スパーシファイアを構築可能か？ これは既知の上界と一致するか？
• RQ4 計算能力が無制限であっても、Pに属する問題でスケッチサイズが多項式より大きい必要がある問題は存在するか？
• RQ5 s-t最大流のダイナミックスケッチとカット保存型頂点スパーシファイアのサイズとの間に、相関関係は存在するか？

主な発見

• 最大マッチング問題に対して、サイズO(k²)のダイナミックスケッチが存在し、この境界はタイトである：任意のこのようなスケッチはΩ(k²)のサイズを必要とする。
• マッチングスケッチを用いることで、サイズO(kC²)のカット保存型頂点スパーシファイアを構築可能であり、これは既知の最良上界と一致する。
• 最大クリーク問題に対して、情報理論的下界2Ω(k)を証明し、この問題に対してはコンパクトなダイナミックスケッチが存在しないことを示している。
• 同様に、クリークと頂点被覆の双対性を用いて、最小頂点被覆問題に対しても2Ω(k)の下界を確立している。
• Pに属するあるクラスのブール関数に対して、任意のダイナミックスケッチはmin{2k, n}の空間を必要とし、フレームワークの本質的限界を示している。
• s-t最大流問題のダイナミックスケッチの進展は、カット保存型頂点スパーシファイアのサイズに関する改善に直接結びつく。