[論文レビュー] Dynamic Triad Interactions and Evolving Turbulence -- Part 1: 4D Modal Interactions

Preben Buchhave, Clara M. Velte|arXiv (Cornell University)|Jun 11, 2019

Meteorological Phenomena and Simulations参考文献 1被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、乱流における三重相互作用をモデル化するため、ナビエ＝ストークス方程式に対して4次元フーリエ解析を提案する。ターレーの凍結場仮説が成り立たない場合、時間は独立変数として扱われる。有限な空間的および時間的サンプリングがスペクトルピークを広げ、エネルギー移動に遅延を引き起こすことが示され、古典的リチャードソン・キャスケードからのずれを説明し、実験およびシミュレーションで観測された遅延相互作用を裏付ける。

ABSTRACT

We investigate the effect of a four-dimensional Fourier transform on the formulation of the Navier-Stokes equation in Fourier space and the way the energy is transferred between Fourier components. Since time in a sampled high intensity turbulence must be considered a stochastic variable in the energy exchange between scales, we refer to these dynamic triad interactions as modal interactions, rather than the commonly referred to triad interactions in the classical 3-dimensional analysis. The inclusion of time as a parameter broadens the phase match condition from the classical one, $Δ\bm{k} \cdot \bm{r} = \left [ \bm{k} - (\bm{k}_1 + \bm{k}_2 ) ight ] \cdot \bm{r}$, to the more general formulation that also includes temporal frequencies: $Δ\bm{k} \cdot \bm{r} - Δωt = \left [ \bm{k} - (\bm{k}_1 + \bm{k}_2 ) ight ] \cdot \bm{r} - \left [ ω- \left (ω_1 + ω_2 ight ) ight ] t$. This renders possible the occurrence of `delayed' and `advanced' interactions. The observation that mismatches in the wavevector triadic interactions may be compensated by a corresponding mismatch in the frequencies supports the empirically deduced delayed interactions reported in [Josserand extit{et al.}, extit{J. Stat. Phys.} (2017)]. These results explain the occurrence and inherent time development of the so-called Richardson cascade and also how finite temporal overlap of wave components can result in significant non-local interactions and consequently non-equilibrium turbulence, e.g., fractal grid generated turbulence. The consequences of including time as a parameter in practical experiments or simulations in terms of limited resolution, domain size etc. are treated in the companion paper (Part 2) of the present work.

研究の動機と目的

• 実験データにおける有限な空間的および時間的サンプリングが、乱流のモード相互作用に与える影響を理解すること。
• ターレーの凍結場仮説が成立しない場合に、時間の独立変数としての役割が三重相互作用のダイナミクスに与える影響を調査すること。
• 現実的な測定制約下での速度パワースペクトルの動的変化をモデル化すること。
• 実験およびシミュレーションで観測された遅延相互作用およびスペクトルの広がりの原因を説明すること。
• 理論的モード相互作用と、乱流ジェットにおけるエネルギー移動の実証的観測を結びつけること。

提案手法

• 時間変数を独立変数として含めたナビエ＝ストークス方程式への4次元フーリエ変換の適用。
• 有限な空間的および時間的領域制約下での三重相互作用の効率を支配する位相因子の導出。
• 有限サンプリングに起因するスペクトル窓関数効果の導入により、相互作用ピークが広がり、エネルギー移動効率が変化すること。
• 時間依存的位相補償を用いて、波数ベクトル三重組の不一致を説明し、実験的に観測された遅延相互作用を支持すること。
• 測定データからの速度スペクトルの時間発展をシミュレートするため、ナビエ＝ストークス方程式の1次元投影の実装。
• 乱流ジェットに単一モードの振動を注入した実験測定値と、シミュレートされたスペクトルを比較して結果の妥当性を検証すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限な空間的および時間的サンプリングが、三重相互作用における位相一致条件にどのように影響するか？
• RQ2 時間変数を独立変数として含めることで、乱流におけるエネルギー移動ダイナミクスはどのように変化するか？
• RQ3 乱流キャスケード過程における観測された時間遅延の原因は何か、そしてどのようにモデル化できるか？
• RQ4 スペクトルの広がりおよび有限領域効果は、速度パワースペクトルの形状および進化にどのように影響するか？
• RQ5 1次元ナビエ＝ストークスシミュレーションは、注入モードを有する乱流ジェットからの実験的スペクトルをどの程度正確に再現できるか？

主な発見

• 有限な空間的および時間的領域が、相互作用するフーリエ成分のピークを広げるスペクトル窓を導入し、相互作用効率を変化させる。
• ターレーの凍結場仮説が成り立たない場合、時間的フラクチュエーションが空間的位相不一致を補償し、そうでなければ禁止される相互作用を可能にする。
• フーリエ変換に時間変数を含めることで、三重相互作用が本質的に時間遅延を持つことが明らかになり、各相互作用が次のものより先に発生することが示された。
• 有限サンプリングに起因するスペクトルの広がりが、特に実験データにおいて古典的リチャードソン・キャスケードからの逸脱を説明する。
• 1次元ナビエ＝ストークス投影に基づくシミュレーションは、測定された速度パワースペクトルと強く一致し、モデルの予測能力を裏付ける。
• 実験で観測された遅延相互作用は、4次元フーリエ定式化における空間的および時間的成分間の動的位相補償によって説明可能である。