[論文レビュー] Dynamical and thermodynamical stability of isothermal distributions in the HMF model

Pierre-Henri Chavanis|arXiv (Cornell University)|Jul 28, 2010

Statistical Mechanics and Entropy参考文献 4被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、ハミルトニアン平均場（HMF）モデルにおける等温分布の力学的・熱力学的安定性条件を変分原理に基づいて導出する。解析的に、臨界エネルギー $E_c$ よりも高いエネルギー領域では均一相がエントロピーの最大値（安定）であることが示され、非均一相は常にエントロピーの安定最大値である。また、カノニカルおよびマイクロカノニカル系において磁化分散が異なり、相転移付近での系の非等価性を確認する。

ABSTRACT

We provide a new derivation of the conditions of dynamical and thermodynamical stability of homogeneous and inhomogeneous isothermal distributions in the Hamiltonian Mean Field (HMF) model. This proof completes the original thermodynamical approach of Inagaki [Prog. Theor. Phys. 90, 557 (1993)]. Our formalism, based on variational principles, is simple and the method can be applied to more general situations. For example, it can be used to settle the dynamical stability of polytropic distributions with respect to the Vlasov equation [Chavanis & Campa, arXiv:1001.2109]. For isothermal distributions, the calculations can be performed fully analytically, providing therefore a clear illustration of the method.

研究の動機と目的

• HMFモデルにおける等温分布の力学的および熱力学的安定性の厳密な条件を導出すること。
• 広範な系に適用可能な変分形式を用いて、稲垣の熱力学的アプローチを拡張・完成させること。
• 固定エネルギーおよび質量におけるエントロピー最大化を通じて、均一相および非均一相の安定性を明確にすること。
• 非均一相が常に安定なエントロピー最大値であることを示し、均一相が $E_c$ 未満で不安定化することを示すこと。
• カノニカル系とマイクロカノニカル系における磁化分散の差を定量的に評価し、系の非等価性を示すこと。

提案手法

• 質量 $M$ およびエネルギー $E$ を固定した条件下でエントロピー汎関数 $S[f]$ に変分原理を適用し、安定性条件を定式化。Poincaréの線形平衡系列のアプローチを一般化する。
• エントロピーの2次変動 $S''(B)$ を導出し、安定性を判定：$S''(B) < 0$ であれば局所的エントロピー最大（安定）、$S''(B) > 0$ であれば最小（不安定）。
• 熱力学的安定性と自由エネルギーの曲率を結ぶ関係式 $S''(B) = -\beta F''(B)$ を用い、解析的計算を可能にする。
• $N \to \infty$ の極限において、分配関数およびカロリック曲線を求めるために、鞍点近似およびHubbard-Stratonovich変換を適用する。
• 両系における磁化分散 $\langle B^2 \rangle$ の明示的表現を導出：$\langle B^2 \rangle_{MCE} = -1/S''(B)$ および $\langle B^2 \rangle_{CE} = -1/F''(B)$。
• 臨界定常点（$\epsilon \to 1^-$、$\eta \to 1^+$）および基底状態（$\epsilon \to -2^+$）近傍での漸近展開を行い、フラクチュエーションの発散行動を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 HMFモデルにおける等温分布の力学的および熱力学的安定性に必要な十分条件は何か？
• RQ2 エントロピーの2次微分 $S''(B)$ が、与えられた相（均一または非均一）が安定最大値か最小値かをどのように決定するか？
• RQ3 非均一相において、カノニカル系とマイクロカノニカル系の磁化分散が異なるのはなぜか？これは系の等価性にどのような含意を持つか？
• RQ4 臨界エネルギー $E_c$ および臨界温度 $T_c$ は、均一相の安定・不安定性の遷移をどのように規定するか？
• RQ5 相転移および基底状態付近での磁化フラクチュエーションの定量的挙動は何か？また、系のパラメータにどのように依存するか？

主な発見

• 均一相は $E > E_c$ においてエントロピーの最大値（安定）であり、$S''(0) = -\frac{8\pi^2}{k^2M}(1 - \frac{E_c}{E}) < 0$ により示される。$E_c$ 未満では不安定化する。
• 非均一相（$B \neq 0$）は、非均一領域におけるすべての $B$ に対して $S''(B) < 0$ であるため、常に安定なエントロピー最大値である。
• 均一相におけるマイクロカノニカル系の磁化分散は、$E > E_c$ に対して $\langle B^2 \rangle_{MCE} = \frac{k^2M}{4\pi^2} \frac{1}{1 - E_c/E}$ として与えられる。
• 非均一相において、カノニカル系とマイクロカノニカル系の分散は異なり、$\langle ( abla B)^2 \rangle_{CE} \neq \langle ( abla B)^2 \rangle_{MCE}$ である。これは系の非等価性を確認する。
• 臨界定常点（$\epsilon \to 1^-$）近傍では、カノニカル分散は $\sim \frac{5}{4(1 - \epsilon)}$、マイクロカノニカル分散は $\sim \frac{1}{4(1 - \epsilon)}$ とスケーリングし、発散するが非等価なフラクチュエーションを示す。
• 基底状態極限（$\epsilon \to -2^+$）では、両分散はそれぞれ $\sim \frac{( abla + 2)^2}{32}$ および $\sim \frac{( abla + 2)^2}{64}$ とスケーリングし、低エネルギー領域でのフラクチュエーションの強力な抑制を示す。