[論文レビュー] Dynamical construction of Kähler-Einstein metrics

Hajime Tsuji|arXiv (Cornell University)|Jun 25, 2006

Geometry and complex manifolds被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、正則な射影多様体に正の canonical bundle を持つ場合、高次の多様体の Berman カーネルに関連する極限として、Kähler-Einstein 距離を動的構成する。主な結果は、スケーリングされた Berman カーネルの極限が Kähler-Einstein カURRENT を与えることであり、$L^2$-正規直交基底と曲率推定に基づく反復的・動的プロセスを通じて、Berman 距離と Kähler-Einstein 幾何学との間に自然な関係を確立する。

ABSTRACT

In this paper, I give a new construction of a Kähler-Einstein metrics on a smooth projective variety with ample canonical bundle. This result can be generalized to the construction of a singular Kähler-Einstein metric on a smooth projective variety of general type which gives an AZD of the canonical bundle. Also the variation of Bergman kernels and Kähler-Einstein volume form have been considered.

研究の動機と目的

• 正則な射影多様体に正の canonical bundle を持つ場合の Kähler-Einstein 距離の新しい動的構成を確立すること。
• 解析的 Zariski 分解を用いて、一般型多様体上の特異 Kähler-Einstein 距離へのこの構成の一般化。
• 一般型のファイバーを持つ射影的準同型 $f_*$ に対して、直接像 $f_*\mathcal{O}_X(mK_{X/S})$ に自然な特異ヒルベルトメトリクスが存在し、その曲率が半正であることを証明すること。
• 反復的メトリクス構成を通じて、Bergman カーネルの漸近的挙動と Kähler-Einstein 幾何学との関連を結ぶこと。

提案手法

• $L^2$-正規直交基底 $H^0(X, \mathcal{O}_X((m+1)K_X))$ に関連する Berman カーネル $K_m$ の逆行列を用いて、$mK_X$ 上の滑らかなヒルベルトメトリクス $h_m$ を反復的に定義する。
• 直前のメトリクス $h_m$ を重みとする $L^2$ 内積を用いて、次の段階の正規直交基底を定義し、曲率の制御を保証する。
• $K_X$ 上の極限メトリクス $h_\infty = \liminf_{m\to\infty} \sqrt[m]{(m!)^n \cdot h_m}$ を構成し、Kähler-Einstein カURRENT を得る。
• Fujita の定理と漸近的体積推定を用いて、$K_m$ の成長と canonical 体積 $\mu(X,K_X)$ の関係を関係づける。
• $\limsup_{m\to\infty} \frac{1}{(m!)^{n/m}} (K_m)^{1/m}$ の下界および上界を証明し、Kähler-Einstein 体積形式への収束を示す。
• 一般型ファイバー上のファイバーごとの Berman カーネルを用いて相対的設定への拡張を行い、直接像層の曲率カURRENT が半正であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 canonical bundle が ample な多様体上の Kähler-Einstein 距離は、Bergman カーネルの極限を用いた動的構成によって得られるか。
• RQ2 多様体の正則型ファイバー上の Berman カーネルの漸近的挙動は、Kähler-Einstein 幾何学とどのように関係するか。
• RQ3 一般型多様体の族に対して、$f_*\mathcal{O}_X(mK_{X/S})$ の直接像層の曲率特性は何か。
• RQ4 一般型多様体上の最大の Kähler-Einstein カURRENT は一意的か。
• RQ5 Kähler-Einstein 距離の動的構成は、一般型多様体上の特異メトリクスへ一般化可能か。

主な発見

• $K_X$ 上の極限メトリクス $h_\infty = \liminf_{m\to\infty} \sqrt[m]{(m!)^n \cdot h_m}$ は、Kähler-Einstein カURRENT $\omega_\infty = \sqrt{-1} \partial\bar\partial \log h_\infty$ を定義する。
• $K_m$ の漸近的成長は、$\limsup_{m\to\infty} \frac{1}{(m!)^{n/m}} \int_X (K_m)^{1/m} = (2\pi)^{-n} \int_X dV_E$ を満たし、Kähler-Einstein 体積形式と一致する。
• 上界 $\limsup_{m\to\infty} \frac{1}{(m!)^{n/m}} (K_m)^{1/m} \leq \frac{1}{n!} \mu(X,K_X)$ が成り立ち、極限で等号が成立する。
• 一般型の滑らかな射影多様体上の最大の Kähler-Einstein カURRENT は一意的である。
• 直接像層 $f_*\mathcal{O}_X(mK_{X/S})$ は、Nakano 意味での半正曲率カURRENT を持つ自然な特異ヒルベルトメトリクス $h_{E,m}$ を持つ。
• 構成は族へ拡張可能である：$K_{X/S}$ 上の極限メトリクスは、各 $m$ に対して $f_*\mathcal{O}_X(mK_{X/S})$ 上に半正曲率カURRENT を誘導する。