[論文レビュー] Dynamical correspondences for Smale spaces

Robin J. Deeley, D. Brady Killough+1 more|arXiv (Cornell University)|May 20, 2015

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 20被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、源と標的の両方へのs-およびu-双射写像をもつ第三のスマール空間を介して定義される、スマール空間間の一般化された準同型写像としての動的対応を導入する。この対応は、有限型のシフトにおけるシフト同値と強いシフト同値を一般化し、プットンのホモロジーに写像を誘導し、一般のスマール空間への行列に基づく不変量の拡張に自然な枠組みを提供する。

ABSTRACT

We initiate the study of correspondences for Smale spaces. Correspondences are shown to provide a notion of a generalized morphism between Smale spaces and are a special case of finite equivalences. Furthermore, for shifts of finite type, a correspondence is related to a matrix which intertwines the adjacency matrices of the shifts. This observation allows us to define an equivalence relation on all Smale spaces which reduces to shift equivalence for shifts of finite type. Several other notions of equivalence are introduced on both correspondences and Smale spaces; a hierarchy between these equivalences is established. Finally, we provide several methods for constructing correspondences and provide specific examples.

研究の動機と目的

• 有限型のシフトから得られる組合せ的不変量を拡張できる、スマール空間間の一般化された準同型写像の概念を構築すること。
• s-およびu-双射写像を用いた特別なクラスの有限同値としての対応を定義し、それらを研究すること。
• 対応に基づく同値関係を用いて、すべてのスマール空間におけるシフト同値および強いシフト同値を一般化すること。
• プットンのホモロジー理論が対応に関して関手的であることを確立し、それと力学的ゼータ関数およびK理論と関連付けること。
• 行列理論的不変量（例えば、結合行列）を非組合せ的スマール空間へ拡張するための枠組みを提供すること。

提案手法

• スマール空間 $(X,\varphi)$ と $(Y,\psi)$ 間の対応を、$X$ および $Y$ へのs-双射およびu-双射写像をもつ第三のスマール空間 $(M,\mu)$ を含む図式として定義する。
• プットンのホモロジー理論を用い、その関手性を活用してs-およびu-双射写像を介したホモロジー群への誘導写像を定義する。
• 対応に基づく等価関係—$H$-同値、強い同値、有理数的同値および有理数的$H$-同値—をスマール空間の間で確立する。
• 隣接行列 $\mathcal{R}_{A_G}$ の像と安定次元群 $D^s(\Sigma_G,\sigma)\otimes\mathbb{Q}$ を結ぶ可換図式を構成し、シフト作用と整合することを示す。
• 安定コホモロジー群上の写像の行列式による因数分解を経由して、ゼータ関数 $\zeta_\varphi(t)$ を用い、力学的不変量と対応誘導同型写像とを関連付ける。
• 非定常状態の場合にさらに発展させる必要があるが、対応が安定／不安定C*-代数のK理論に写像を誘導する可能性を提起する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限型のシフトを超えて、シフト同値を拡張できるスマール空間間の一般化された準同型写像はどのように定義できるか？
• RQ2 有限型のシフトの文脈において、対応、結合行列、および有限同値の関係は何か？
• RQ3 対応はどのようにプットンのホモロジーに写像を誘導し、その写像で不変に保たれる不変量は何か？
• RQ4 スマール空間のゼータ関数は、対応誘導同型写像で不変となる力学的不変量として用いることができるか？
• RQ5 対応を用いて、スマール空間に付随するC*-代数のK理論的不変量をどの程度まで一般化できるか？

主な発見

• スマール空間間の対応は、有限同値の特別な場合であり、プットンのホモロジー理論に関して関手的である。
• 有限型のシフトにおいて、対応の存在は、$FA_G = A_H F$ を満たす非負の結合行列 $F$ の存在と同値である。
• $H$-同値は、定理5.18で示されるように、シフト同値を一般化する。
• 強い同値は、コロナリー5.15で示されるように、強いシフト同値と同値である。
• 二つのスマール空間が、安定および不安定コホモロジー群を$\mathbb{R}$とテンソル積にとった上で同型写像を誘導する対応によって関連付けられているならば、それらのゼータ関数は等しくなる（命題7.4）。
• 対応の枠組みは、有限型のシフトから得られる行列に基づく不変量を一般のスマール空間へ拡張する自然な設定を提供し、次元群レベルにおける有限同値の非関手的性を回避する。