[論文レビュー] Dynamical Diophantine Approximation

Aihua Fan, Joerg Schmeling+1 more|arXiv (Cornell University)|May 29, 2007

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 1被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、ギブズ測度と倍大写像を用いて円周上の動的ディオファントス近似を研究し、多重フラクタルギブズ測度に対する質量転送原理を確立する。エントロピースペクトルと圧力関数を用いて、よく近似可能な点および悪く近似可能な点の集合の正確なハウスドルフ次元を導出する。これは、非単一フラクタル測度への古典的ジャルニク型結果の一般化である。

ABSTRACT

Let $μ$ be a Gibbs measure of the doubling map $T$ of the circle. For a $μ$-generic point $x$ and a given sequence $\{r_n\} \subset \R^+$, consider the intervals $(T^nx - r_n \pmod 1, T^nx + r_n \pmod 1)$. In analogy to the classical Dvoretzky covering of the circle we study the covering properties of this sequence of intervals. This study is closely related to the local entropy function of the Gibbs measure and to hitting times for moving targets. A mass transference principle is obtained for Gibbs measures which are multifractal. Such a principle was shown by Beresnevich and Velani \cite{BV} only for monofractal measures. In the symbolic language we completely describe the combinatorial structure of a typical relatively short sequence, in particular we can describe the occurrence of ''atypical'' relatively long words. Our results have a direct and deep number-theoretical interpretation via inhomogeneous diadic diophantine approximation by numbers belonging to a given (diadic) diophantine class.

研究の動機と目的

• 円周上の非単一フラクタルギブズ測度へ、古典的動的ボレル＝カンテリおよびディオファントス近似結果を拡張すること。
• 単一フラクタル測度に制限されていた既存の結果を一般化し、多重フラクタルギブズ測度に対する質量転送原理を確立すること。
• 倍大写像の軌道によって近似可能な点の集合のハウスドルフ次元を、さまざまな近似速度のもとで特徴づけること。
• 典型軌道の近似性質を、基礎となるギブズ測度のエントロピースペクトルと圧力関数と関連付けること。

提案手法

• 倍大写像 T(x) = 2x mod 1 におけるギブズ測度 μϕ を用いて、一般の軌道をモデル化する。
• 近似集合 Iκ(s) および Fκ(s) を、Tⁿx の周りの半径 rₙ = n⁻κ の区間の上極限および下極限として定義する。
• 熱力学的形式主義を適用：近似集合の次元を圧力関数 P(qϕ) 及びその微分と関連付ける。
• エントロピースペクトル E(t) = sup{hμ(μ) : ∫ϕdμ = t} を用いて、Fκ(s) および Iκ(s) のハウスドルフ次元を特徴付ける。
• 圧力関数と関連付けることにより、多重フラクタル測度に対する質量転送原理を確立する。
• 符号的ダイナミクスから円周への転送を、因子写像 π を用い、押し出し測度 νϕ = μϕ∘π⁻¹ を用いて行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 μϕ-ほとんど everywhere な x に対して、S¹ 内の点 y で、軌道 {Tⁿx} により速度 rₙ = n⁻κ でよく近似可能な点の集合のハウスドルフ次元は何か？
• RQ2 Fκ(s) の次元は、ギブズ測度のエントロピースペクトルと圧力関数にどのように依存するか？
• RQ3 単一フラクタル測度に既知の結果を拡張して、多重フラクタルギブズ測度に対しても質量転送原理を確立できるか？
• RQ4 Iκ(s) が次元 1 をもつのはどのような条件下か、またいつ次元が小さくなるか？
• RQ5 ポテンシャル ϕ が典型でない、特にエントロピースペクトルの不連続点において、近似行動はどのように変化するか？

主な発見

• μϕ-ほとんど everywhere な x に対して、Fκ(π(x)) のハウスドルフ次元は E(1/κ) = P(qκϕ) + (1/κ)qκ で与えられ、ここで P′(qκϕ) = -1/κ である。
• μϕ-ほとんど everywhere な x に対して、Iκ(π(x)) のハウスドルフ次元は、hνϕ ≤ 1/κ < -∫ϕdLeb. のとき E(1/κ) であり、1/κ > hνϕ のときは 1/κ に等しい。
• 1/κ ≤ -∫ϕdLeb. のとき、νϕ-ほとんど everywhere な s に対して dimH(Fκ(s)) = 1 である。これは、ゆっくりな近似において、全測度を占めるということを示している。
• 1/κ ≥ -∫ϕdLeb. のとき、νϕ-ほとんど everywhere な s に対して dimH(Iκ(s)) = 1 である。これは、ほとんどすべての点が無限回にわたってよく近似可能であることを意味する。
• κ < 1/(-inf_μ ergodic ∫ϕdμ) のとき、Fκ(s) は空集合である。これは、非常にゆっくりな近似速度では、悪く近似可能な点が存在しないことを示している。
• 結果は、圧力関数とエントロピースペクトルが近似集合の次元を完全に決定することを示し、古典的ジャルニク型定理を非単一フラクタル測度へ一般化する。