[論文レビュー] Dynamical Embedding in Cubical Shifts & the Topological Rokhlin and Small Boundary Properties

Yonatan Gutman|arXiv (Cornell University)|Jan 25, 2013

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 11被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、周期点を有する系におけるLindenstrauss-Tsukamoto予想を、非定常集合が有限次元で閉じた周期点を持つ場合に検証する。局所マーカーの概念を導入し、周期点を有する系へのマーカー性質の拡張を達成する。マーカー性質が強い位相的Rokhlin性質と同値であることを確立し、平均次元がゼロであることと小境界性質が同値であり、ゼロ次元の同型拡張を許容することと同値であることを証明する。Downarowiczの問いに肯定的に答えている。

ABSTRACT

According to a conjecture of Lindenstrauss and Tsukamoto, a topological dynamical system $(X,T)$ is embeddable in the $d$-cubical shift $(([0,1]^{d})^{\mathbb{Z}},\ shift)$ if both its mean dimension and periodic dimension are strictly bounded by $\frac{d}{2}$. We verify the conjecture for the class of systems admitting finite dimensional non-wandering sets (under the additional assumption of closed periodic points set). The main tool in the proof is the new concept of local markers. Continuing the investigation of (global) markers initiated in previous work it is shown that the marker property is equivalent to a topological version of the Rokhlin Lemma. Moreover new classes of systems are found to have the marker property, in particular, extensions of aperiodic systems with a countable number of minimal subsystems. Extending work of Lindenstrauss we show that for systems with the marker property vanishing mean dimension is equivalent to the small boundary property. Finally we answer a question by Downarowicz in the affirmative: the small boundary property is equivalent to admitting a zero-dimensional isomorphic extension.

研究の動機と目的

• 周期点を有し、非定常集合が有限次元である系について、Lindenstrauss-Tsukamoto予想を検証すること。
• 周期点を有する系にまでマーカー理論を拡張するため、局所マーカーの概念を導入すること。
• マーカー性質と強い位相的Rokhlin性質との同値性を確立すること。
• マーカー性質を有する系において、平均次元がゼロであることと小境界性質が同値であることを証明すること。
• Downarowiczの問いに答えるために、小境界性質がゼロ次元の同型拡張を許容することと同値であることを示すこと。

提案手法

• 周期点を有する系を取り扱うために、グローバルマーカーの一般化として局所マーカーの概念を導入すること。
• 平均次元と周期次元がそれぞれd/36およびd/2未塔であるとき、局所マーカー性質がd-立方体シフトへの埋め込みを示すこと。
• マーカー性質と強い位相的Rokhlin性質との同値性を確立すること。
• 距離的平均次元技術を用いて、マーカー系において平均次元がゼロであることから小境界性質が導かれるのを示すこと。
• 周期的マーカーと閉開集合を用いた記号的符号化により、ゼロ次元の同型拡張を明示的に構成すること。
• 単体分割と凸結合の議論を用いて、必要な近似および分離条件を満たす連続写像を立方体シフトへ構成すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 周期点を有し、非定常集合が有限次元である系について、Lindenstrauss-Tsukamoto予想を検証できるか？
• RQ2 位相的力学系の文脈において、マーカー性質は強い位相的Rokhlin性質と同値か？
• RQ3 マーカー性質を有する系において、平均次元がゼロであることから小境界性質が導かれるか？
• RQ4 小境界性質はゼロ次元の同型拡張の存在と同値か？
• RQ5 局所マーカーを用いて、周期点を有する無限次元系への埋め込み定理を拡張できるか？

主な発見

• 本稿は、mdim(X,T) < d/36およびperdim(X,T) < d/2の条件下で、非定常集合が有限次元で閉じた周期点を有する系について、Lindenstrauss-Tsukamoto予想を検証する。
• 局所マーカー性質が導入され、同様の境界条件下でd-立方体シフトへの埋め込みを示す。
• マーカー性質が強い位相的Rokhlin性質と同値であることが証明され、古典的Rokhlin補題が位相的力学系へ一般化される。
• マーカー性質を有する系において、平均次元がゼロであることと小境界性質が同値である。
• 小境界性質がゼロ次元の同型拡張の存在と同値であることが示され、Downarowiczの問いに肯定的に答えている。
• 記号的符号化と閉開集合を用いた記号的行列系において、射影写像の測度ゼロの逆像サイズが1より大きいゼロ次元の同型拡張が明示的に構成されている。