[論文レビュー] Dynamical Gibbs-non-Gibbs transitions in Curie-Weiss Widom-Rowlinson models

Sascha Kissel, Christof Kuelske|arXiv (Cornell University)|Sep 28, 2018

Theoretical and Computational Physics参考文献 21被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、反対スピン間の反発相互作用を伴うCurie-Weiss Widom-Rowlinson平均場模型における動的GibbsでないGibbsの遷移を検討する。大偏差原理および対称的スピン反転ノイズ下での条件付きダイナミクスを用いて、強い反発力（$\beta > 2$）の下で、有限時間後に連続的な悪影響を受ける経験的測度が出現し、初期には対称的な弧、次にY字型領域、最終的には成長する直線へと、異なる位相的状態を経て変化するが、非Gibbs性は無期限に維持される。

ABSTRACT

We consider the Curie-Weiss Widom-Rowlinson model for particles with spins and holes, with a repulsion strength beta between particles of opposite spins. We provide a closed solution of the model, and investigate dynamical Gibbs-non-Gibbs transitions for the time-evolved model under independent stochastic symmetric spin-flip dynamics. We show that, for sufficiently large beta after a transition time, continuously many bad empirical measures appear. These lie on (unions of) curves on the simplex whose time-evolution we describe.

研究の動機と目的

• 時間発展するCurie-Weiss Widom-RowlinsonモデルにおけるGibbs性の喪失と持続を、対称的確率的スピン反転ダイナミクスの下で分析すること。
• 変化する反発力強度 $\beta$ の下で単体内での悪影響を受ける経験的測度の構造と時間発展を同定すること。
• Ising型モデルにおける既知の動的GibbsでないGibbsの遷移結果を、空孔とソフト反発を有するより豊かなWidom-Rowlinsonモデルへと拡張すること。
• 静的モデルの閉形式解を確立し、それを用いて大偏差技術により悪影響測度集合の時間発展を導出すること。

提案手法

• 経験的測度を $\beta$ と事前測度 $\alpha$ でパラメータ化することにより、静的Curie-Weiss Widom-Rowlinsonモデルを閉形式で解き、典型的な配置の明示的計算を可能にする。
• 独立した対称的スピン反転ダイナミクス下での時間発展測度を分析するために条件付き大偏差原理を適用し、スピンの磁化の指数的減衰を用いて時間発展をモデル化する。
• 悪影響を受ける測度の集合は、Curie-Weiss Isingモデルから導かれる分岐集合の境界として特定され、最大値線と相共存を記述する関数 $\alpha_{12}$ と $\beta_{12}$ を用いる。
• 有効温度と占有密度を用いて、悪影響測度集合の時間発展を単体にマッピングし、曲線 $C_1$, $C_2$, $C_3$, $C_4$ が変化する境界を記述する。
• 非典型性を示すために、非対称な悪影響測度が典型的な測度曲線と交差しないことを示し、$I'(m)/m$ および $\alpha_{12}$, $\beta_{12}$ 関数の単調性に依拠する。
• 数値的検証により、不等式 $\frac{I'(e^{2t}\alpha_{12}(M_u(t),h_t))}{e^{2t}\beta_{12}(M_u(t),h_t)\alpha_{12}(M_u(t),h_t)} < 1$ が成り立つことが確認され、非Gibbs性が持続することを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 独立した対称的スピン反転ダイナミクス下でのCurie-Weiss Widom-RowlinsonモデルにおけるGibbs性はどのように発展するか？
• RQ2 どの反発力強度 $\beta$ の値において、時間発展測度が逐次Gibbs性を失うか？
• RQ3 反発力 $\beta > 2$ の下で、単体内での悪影響を受ける経験的測度集合の位相的構造と時間発展は何か？
• RQ4 強い反発力下で、悪影響測度集合がなぜ2つの対称的弧からY字型領域へ、最終的に成長する直線へと変化するのか？
• RQ5 非対称な悪影響を受ける経験的測度は、時間発展測度において典型的か非典型的か。その証明はどのように行われるか？

主な発見

• $\beta \leq 2$ の場合、モデルはすべての時間において逐次Gibbs性を保持するため、Gibbs性の喪失は生じない。
• $\beta > 2$ の場合、モデルは有限の遷移時間後に逐次Gibbs性を失い、連続的な悪影響を受ける経験的測度が出現する。
• $\beta > 3$ の場合、悪影響測度集合は空から2つの対称的弧へと始まり、Y字型領域を形成し、最終的に成長する線分へと退化する。
• 悪影響測度集合の境界は4つの曲線 $C_1$, $C_2$, $C_3$, $C_4$ で記述され、$C_1$ と $C_2$ は対称的であり、$C_3$ と $C_4$ は端点を接続する。
• 悪影響を受ける測度集合が非典型であることが示され、典型的な測度曲線と交差しないことが、$I'(m)/m$ および $\alpha_{12}$, $\beta_{12}$ 関数を含む時間依存不等式により証明される。
• 数値的証拠により、臨界不等式 $\frac{I'(e^{2t}\alpha_{12}(M_u(t),h_t))}{e^{2t}\beta_{12}(M_u(t),h_t)\alpha_{12}(M_u(t),h_t)} < 1$ がすべての $t \in [0, t_3]$ で成り立つことが確認され、非Gibbs性が持続することが保証される。