[論文レビュー] Dynamical Localization for the Random Dimer Model

Stephan De Bièvre, François Germinet|arXiv (Cornell University)|Jul 7, 1999

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 18被引用数 45

ひとこと要約

本稿は、ベルヌーイ分布するダイマー結合ポテンシャルを有する1次元ランダムダイマー模型における動的局在性を確立する。リャプノフ指数解析と多スケール技法を用いて、臨界エネルギーよりも離れた領域で固有関数が半一様に指数的に局在することを証明し、位置演算子の時間平均モーメントに一様な境界を与える。これにより、すべての V > 1 および V ≠ √2 に対して、また V ≤ 1 では ±V および追加の臨界点 V = 1/√2 と V = √2 を除き、動的局在性が確認される。

ABSTRACT

We study the one-dimensional random dimer model, with Hamiltonian $H_\omega=\Delta + V_\omega$, where for all $x\in\Z, V_\omega(2x)=V_\omega(2x+1)$ and where the $V_\omega(2x)$ are i.i.d. Bernoulli random variables taking the values $\pm V, V>0$. We show that, for all values of $V$ and with probability one in $\omega$, the spectrum of $H$ is pure point. If $V\leq1$ and $V eq 1/\sqrt{2}$, the Lyapounov exponent vanishes only at the two critical energies given by $E=\pm V$. For the particular value $V=1/\sqrt{2}$, respectively $V=\sqrt{2}$, we show the existence of additional critical energies at $E=\pm 3/\sqrt{2}$, resp. E=0. On any compact interval $I$ not containing the critical energies, the eigenfunctions are then shown to be semi-uniformly exponentially localized, and this implies dynamical localization: for all $q>0$ and for all $\psi\in\ell^2(\Z)$ with sufficiently rapid decrease: $$ \sup_t r^{(q)}_{\psi,I}(t) \equiv \sup_t < P_I(H_\omega)\psi_t, |X|^q P_I(H_\omega)\psi_t > <\infty. $$ Here $\psi_t=e^{-iH_\omega t} \psi$, and $P_I(H_\omega)$ is the spectral projector of $H_\omega$ onto the interval $I$. In particular if $V>1$ and $V eq \sqrt{2}$, these results hold on the entire spectrum (so that one can take $I=\sigma(H_\omega)$).

研究の動機と目的

• 独立同分布のベルヌーイ分布するダイマー結合ポテンシャルを有する1次元ランダムダイマー模型における動的局在性を厳密に確立すること。
• リャプノフ指数を解析し、特に V = 1/√2 および V = √2 の特別な値に対してその値が消える臨界エネルギーを同定すること。
• 臨界エネルギーから離れた領域で固有関数が半一様に指数的に局在することを示し、これにより動的局在性が導かれるようにすること。
• 無限系における局在化の欠如を排除することで、有限系で観測される t^{3/2} の超拡산的挙動が、無限系における動的局在性とどのように整合するかを明らかにすること。
• 標準的な ±V 臨界点を超えて、ランダムダイマー模型における局在化-非局在化転移の理解を拡張すること。

提案手法

• ダイマー結合ポテンシャルに対して2ステップの伝搬行列 T^E_v = (S^E_v)^2 を分析し、S^E_v は標準的な1ステップ伝搬行列である。
• フールステンベルクおよびケステンの定理を適用して、リャプノフ指数 γ(E) の存在およびほとんど確実な定数性を確立する。
• Wegner型推定に基づく多スケール解析フレームワークを用い、臨界エネルギーから離れた領域で γ(E) > 0 であることを根拠とする。
• 行列積の成長をモデル化するため、ランダム変数 Uk および Vk の列を導入し、鎖内における Tα および Tβ 行列の数を追跡する。
• コーシー＝シュワルツ不等式と Vm(n) のモーメント推定を用いて、期待値のノルム成長を評価し、E(|Vm(n)|/n) → 0 を示し、臨界エネルギーにおける γ = 0 を示す。
• 特別な場合 V = 1/√2 および V = √2 に対して、TαTβ を含む縮小された積を構成し、ノルム成長が指数的でないことを示し、新たな臨界エネルギーにおけるリャプノフ指数の消滅を導く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ランダムダイマー模型が動的局在性を示す条件は何か、すなわち位置演算子の時間平均モーメントが一様に有界である状況は？
• RQ2 リャプノフ指数が消える場所はどこか、そして固有関数の局在性とスペクトル型に与える影響は？
• RQ3 標準的な ±V とは別に、E = ±V 以外の臨界エネルギーでリャプノフ指数が消える点が存在するか？ それらは標準的な ±V の場合とどのように異なるか？
• RQ4 有限系で観測される t^{3/2} の超拡散的挙動は、無限系における動的局在性とどのように調和するか？
• RQ5 ダイマー結合ポテンシャルの構造は、伝搬行列積の成長およびそれによる局在性特性にどのように影響するか？

主な発見

• すべての V > 0 およびほとんどすべての ω に対して、ランダムダイマーハミルトニアンのスペクトルは純粋点スペクトルである。
• V ≤ 1 かつ V ≠ 1/√2 のとき、リャプノフ指数は E = ±V のみで消える。V = 1/√2 のとき、追加の臨界エネルギー E = ±3/√2 が現れる。
• V = √2 のとき、リャプノフ指数は E = 0 で消える。これは標準モデルに存在しない新たな臨界エネルギーを示している。
• 臨界エネルギーから離れた領域では、固有関数が半一様に指数的に局在する：任意の γ < γ(I) に対して、|ϕ_n,ω(x)| ≤ C(ω,ε,γ) e^{|x_n,ω|^ε} e^{-γ|x - x_n,ω|} が成り立つ。
• この局在性は動的局在性を意味する：すべての q > 0 および指数的に減衰する初期状態 ψ に対して、sup_t ⟨PI(Hω)ψ_t, |X|^q PI(Hω)ψ_t⟩ < ∞ がほとんど確実に成り立つ。
• V > 1 かつ V ≠ √2 のとき、結果は全スペクトルに適用可能であり、系は全体的に動的局在性を示す。